Négyzetes piramisszámok

Piramisszámnak vagy négyzetes piramisszámnak (vagy n-edik piramisszámnak) nevezzük az első n darab pozitív egész szám négyzetösszegét, más szóval az első n négyzetszám összegét.

Az elnevezést a fogalom geometriai jelentése motiválja, mert pontosan piramisszám számosságú gömbből lehet olyan piramist építeni, melynek alapja ${\displaystyle n\times n}$ méretű négyzet.

Az n-edik piramisszám formális definíciója a következő:

${\displaystyle P_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +n^{2}}$

amely a tömörebben is kifejezhető a Σ szimbólummal:

${\displaystyle P_{n}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}}$

Nem csak összegként, hanem zárt alakban is kifejezhető:

${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

A piramisszámok kapcsolatban állnak a binomiális együtthatókkal is a következőképpen:

${\displaystyle P_{n}={{n+2} \choose 3}+{{n+1} \choose 3}}$

Az 1-en kívül csak egy olyan szám van, amely egyben piramisszám és négyzetszám is, és ez a szám a 4900, amely a 70. négyzetszám és a 24. piramisszám. Ezt a tényt G. N. Watsonnak sikerült belátnia 1918-ban.

A négyzetes piramisszámok generátorfüggvénye:^[1]

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)^{4}}}.}$

Az első néhány piramisszám a következő:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, … (A000330 sorozat az OEIS-ben)