Ma a Teljes hatvány-ről szeretnénk beszélni. Ez a téma/személy/dátum nagy jelentőséggel bír a mai társadalomban, és nagy érdeklődést váltott ki különböző területeken. Ebben a cikkben a Teljes hatvány-hez kapcsolódó különböző szempontokat fogjuk megvizsgálni, a történetétől a mai világra gyakorolt hatásáig. Megvizsgáljuk a népszerű kultúrában betöltött relevanciáját, a társadalomra gyakorolt hatását, és azt, hogy hogyan fejlődött az idők során. Emellett elemezzük mai szerepét és jövőre vetítését. Reméljük, hogy ez a cikk hasznos és gazdagító információforrás a Teljes hatvány iránt érdeklődők számára.
A matematikában teljes hatványnak vagy hatványszámnak olyan pozitív egész számokat neveznek, melyek kifejezhetők egy pozitív egész szám egy másik pozitív egész kitevőre emelésével. Formálisabban, n teljes hatvány, ha léteznek m > 1 és k > 1 természetes számok, melyekre mk = n. Ebben az esetben az n teljes k-adik hatvány. Ha k = 2 vagy k = 3, akkor n hívható teljes négyzetnek, illetve teljes köbnek is (más néven: négyzetszám, ill. köbszám). Változó, hogy az egyet teljes hatványnak tekintik-e (1k = 1 bármely k-ra).
A teljes hatványok sorozatát elő lehet állítani az m és k lehetséges értékeinek iterálásával. Az első néhány teljes hatvány emelkedő sorrendben (a duplikátumokat is mutatva) (A072103 sorozat az OEIS-ben):
A teljes hatványok (duplikátumokat is figyelembe vett) sorösszege 1:
aminek bizonyítása:
Az első néhány teljes hatvány (duplikátumoktól megtisztítva) ( A001597):
A p teljes hatványok reciprokösszege a duplikátumok nélkül:[1]
ahol μ(k) a Möbius-függvény és ζ(k) a Riemann-féle zéta-függvény.
Euler szerint Goldbach megmutatta (egy azóta elveszett levelében), hogy a p teljes hatványokat tekintve az 1/(p−1) sorösszege, 1-et és a duplikátumokat kivéve éppen 1-gyel egyenlő:
Ezt néha Goldbach–Euler-tételnek is nevezik.
Annak megállapítása, hogy adott n természetes szám teljes hatvány-e különböző módokon történhet, melyek különböző számítási bonyolultságúak lehetnek. Az egyik legegyszerűbb ilyen módszer, hogy vesszük az összes lehetséges k-t n osztói között, legfeljebb -ig. Ha tehát osztói , akkor az értékek valamelyikének meg kell egyeznie n-nel, ha n valóban teljes hatvány.
A módszer azonnal egyszerűsíthető, ha k-nak csak a prímszám értékeit vesszük figyelembe. Ez azért van, mert ha egy összetett -re, ahol p prím, akkor a kifejezés egyszerűen átírható a következőre: . Emiatt k minimális értékének szükségképpen prímnek kell lennie.
Ha n prímtényezős felbontása ismert, ahol és különböző prímszámokat jelöl, akkor n akkor és csak akkor teljes hatvány, ha , ahol a gcd=lnko a legnagyobb közös osztót jelenti. Vegyük például az n = 296·360·724 esetet. Mivel lnko (96, 60, 24) = 12, n teljes 12-edik hatvány (és természetesen teljes hatodik, negyedik hatvány, teljes köb és négyzet is, mivel 6, 4, 3 és 2 osztója a 12-nek).
2002-ben Preda Mihăilescu román matematikus igazolta, hogy a 23 = 8 és 32 = 9 az egyetlen egymás után következő teljeshatvány-pár, ezzel a Catalan-sejtést is bizonyítva.
A Pillai-sejtés azt állítja, hogy bármely pozitív egész k számhoz csak véges számú olyan teljeshatvány-pár létezik, melyek különbsége k. Ez egy megoldatlan probléma.[2]