Gömb

Megjelenés áthelyezés az oldalsávba elrejtés A gömb perspektivikus négyszöghálója

A gömb egy geometriai alakzat, mely jelenthet egy felületet (pontosabb megnevezése gömbhéj, esetleg üres gömb) és egy (tömör) testet egyaránt. A (héj)felület esetén egy adott ponttól a térben egyenlő távolságra lévő pontok, míg test esetén a legfeljebb az adott távolságra lévő pontok halmazát értjük rajta.

A gömböt tekinthetjük a kör általánosításának is.

Definíció

A Föld közel gömb alakú, egész pontosan geoid

Gömbnek nevezzük a térben azon pontok halmazát, melyek egy adott P ponttól legfeljebb egy rögzített r távolságra vannak. Ekkor P-t a gömb középpontjának, r értékét pedig a gömb sugarának nevezzük. A P ponttól pontosan r távolságra lévő pontokat együttesen a gömb felületének, vagy felszínének nevezzük. Ha r = 1, akkor egységgömbről beszélünk.

Egyenletek

Az analitikus geometriában, az (x0, y0, z0) középpontú és r sugarú gömböt azok az (x, y, z) pontok alkotják, melyekre fennáll az alábbi egyenlőtlenség:

( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 ≤ r 2 {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leq r^{2}\,}

Az egyenlőség a felületi pontokban teljesül:

( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}\,}

A belső pontokban szigorú egyenlőtlenség áll fenn:

( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 < r 2 {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}<r^{2}\,}

Az r sugarú gömb felületi pontjai paraméterezhetőek a gömbi koordináták segítségével is:

Gömbi koordináták x = x 0 + r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \phi } y = y 0 + r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ ( 0 ≤ θ ≤ π ,  − π < ϕ ≤ π ) {\displaystyle y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \phi \qquad (0\leq \theta \leq \pi {\mbox{, }}-\pi <\phi \leq \pi )\,} z = z 0 + r cos ⁡ θ {\displaystyle z=z_{0}+r\cos \theta \,}

Az origó középpontú, tetszőleges sugarú gömbfelület a következő differenciálegyenlettel írható le:

x d x + y d y + z d z = 0. {\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}

Az egyenlet jól visszatükrözi a tényt, hogy a gömbfelületen mozgó pont helyvektora és sebességvektora mindig merőleges egymásra.

Vektortérben

Legyen V {\displaystyle V} egy (nem feltétlenül véges dimenziós) vektortér valamely ‖ . ‖ {\displaystyle \|.\|} normával. Ekkor a v ∈ V {\displaystyle v\in V} középpontú r {\displaystyle r} sugarú gömbfelület megfogalmazható a következőképpen:

G := { u ∈ V : ‖ u − v ‖ = r } {\displaystyle G:=\{u\in V:\|u-v\|=r\}}

Észrevehető, hogy háromdimenziós esetben a klasszikus gömbfelülethez, kétdimenzióban a körhöz jutunk az euklideszi normával.

A gömb belső pontjainak halmaza, más szóval a v ∈ V {\displaystyle v\in V} pont r {\displaystyle r} sugarú környezete, szintén a háromdimenziós eset általánosításaként adható meg.

K r ( v ) := { u ∈ V : ‖ u − v ‖ < r } {\displaystyle K_{r}(v):=\{u\in V:\|u-v\|<r\}}

Metrikus térben

Legyen ( X , ρ ) {\displaystyle (X,\rho )} metrikus tér. Ekkor a x ∈ X {\displaystyle x\in X} középpontú r {\displaystyle r} sugarú gömbfelület megfogalmazható a következőképpen:

G r ( x ) := { y ∈ X : ρ ( x , y ) = r } {\displaystyle G_{r}(x):=\{y\in X:\rho (x,y)=r\}}

A gömb belső pontjai pedig egyenlőtlenség segítségével:

K r ( x ) := { y ∈ X : ρ ( x , y ) < r } {\displaystyle K_{r}(x):=\{y\in X:\rho (x,y)<r\}}

Utóbbit nevezik nílt gömbnek is, a G r ( x ) ∩ K r ( x ) {\displaystyle G_{r}(x)\cap K_{r}(x)} halmazt pedig zárt gömbnek. Ezeknek lényeges analízisbeli alkalmazásaik vannak.

Forgástestként

A gömb úgy is definiálható, hogy az a test, ami egy kört átmérője körül megforgatva keletkezik. Ha a kört ellipszissel helyettesítjük, akkor az eredmény forgásellipszoid lesz.

Terminológia

Egy egyenes, ami metszi a gömböt, legfeljebb két pontban metszi. Ha a gömb egy pontpárján átmenő egyenes tartalmazza a gömb középpontját, akkor a pontpár egyik eleme a másik átellenes vagy antipodális pontja. Egy kör a gömb főköre, ha teljes egészében rajta van a gömbön, és középpontja megegyezik a gömb középpontjával.

Bár a Föld nem pontosan gömb, vagy forgásellipszoid alakú, gömbök esetén gyakran alkalmazzuk a Földre és más csillagászati testekre megszokott terminológiát. Ha egy gömbi pontot Északi-sarknak nevezünk, akkor átellenes pontja a Déli-sark, az egyenlítő pedig a pontpár két tagjától egyenlő távolságra húzódó főkör. A két sarkot összekötő körök a hosszúsági körök, vagy meridiánok. Az egyenlítővel párhuzamos körök a szélességi körök.

Felszín és térfogat

Az ember által alkotott legtökéletesebb gömb, amint visszatükrözi Einstein képét. A gömb nem több mint 40 atommal tér el a szabályostól. Úgy gondolják, hogy csak a neutroncsillagok simábbak

A gömb felszíne:

A = 4 π r 2 {\displaystyle A=4\pi r^{2}\,} ,

a térfogata pedig:

V = 4 π r 3 3 {\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}} .

Ezeket többféleképpen, integrálszámítással, közelítő poliéderekkel vagy a Cavalieri-elv segítségével lehet belátni.

A gömbnek van a legkisebb felülete az adott térfogatú testek közül. Másként fogalmazva, rögzített felület esetén a gömb rendelkezik a testek közül a legnagyobb térfogattal (izoperimetrikus egyenlőtlenség). Ennek folyománya, hogy a szabad folyadékfelszínek a gömbhöz minél inkább közeli alakzatokat igyekszenek felvenni.

Egy adott gömb körülírt hengerének térfogata éppen másfélszerese a gömb térfogatának, és a felszíne is másfélszerese a gömb felszínének. Ezt már Arkhimédész is tudta. Ennek belátásához írjuk fel a henger térfogatát és felszínét is:

A = 2 π r 2 + 2 π r ⋅ 2 r = 6 π r 2 V = π r 2 ⋅ 2 r = 2 π r 3 {\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot 2r=6\pi r^{2}\\V&=\pi r^{2}\cdot 2r=2\pi r^{3}\end{aligned}}} .

Elvégezve az osztásokat kapjuk az eredményt.

Gömbi geometria

A gömb felületének pontjai is alkalmasak geometria bevezetésére, ezt gömbi geometriának nevezzük. Ennek a geometriának főleg a távolsági közlekedésben van szerepe, de sok elméleti alkalmazása is van. Ugyanakkor jó néhány meglepő vagy váratlan tulajdonsággal is rendelkezik, ez pedig a szemlélet fejlesztésére is alkalmassá teszi. Az egyik legismertebb ilyen a navigációs paradoxon, ami szerint a "legrövidebb" és "legegyenesebb" útvonalak különböznek.

Például a Földön, mivel jó közelítéssel gömbnek tekinthető, egy objektum helyzetét megadhatjuk a Föld középpontjától való R távolsággal, a λ hosszúsági fokkal, és a φ szélességi fokkal. Sokszor a távolságot nem adják meg, mivel a felszínen közel állandó, legfeljebb amikor lényeges, a felszíntől mért távolság formájában. Ezen paramétereket földrajzi koordináta-rendszernek is nevezik. Ennek a leképezésnek egyik folyománya, hogy a gömb ekvivalens egy × × {\displaystyle \times \times } kockával.

Topológia

Az n-gömb olyan topologikus tér, ami homeomorf az n+1 dimenziós golyó határával. Magyarul, homeomorf az euklideszi n-gömbbel.

Az n-gömböt Sn-nel jelölik. Ez kompakt topologikus sokaság, aminek nincs határa. Nem feltétlenül differenciálható; ha mégis, akkor lehet, hogy nem diffeomorf az euklideszi gömbbel.

Az euklideszi n-gömb kompaktsága könnyen bizonyítható a Borel–Lebesgue-tétellel:

A gömb egy egypontú halmaz ősképe az ||x|| folytonos függvényre nézve, ezért a gömb zárt. Sn nyilván korlátos is. Tehát korlátos és zárt, így kompakt. Az n-dimenziós gömb térfogata r = 1 {\displaystyle r=1} -re n = 5 {\displaystyle n=5} -ig növekszik, majd a nullához konvergál.

További információk

Megjegyzések

  1. Ezekre az eredményekre Arkhimédész, mivel a képleteket nem ismerte, közelítő eljárásokkal, többek között az általa felfedezett kimerítéses módszerrrel jött rá.
  2. Ez a greenwichi csillagvizsgálón átmenő hosszúsági körtől való eltérés fokokban mérve.
  3. Ez pedig az Egyenlítőtől való eltérés fokokban.
  4. Kisebb, mint 0,2%.

Források

  1. I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig. Földrajzi koordináták, Matematikai Kézikönyv. TypoTeX, 154. o. (2000). ISBN 963 9132 59 4 
  2. n-dimenziós gömb térfogata