Vektortér

A mai világban a Vektortér nagyon fontos és sok ember számára érdekes téma lett. Különféle területeken vita és vita tárgyává vált, legyen szó személyes, szakmai vagy tudományos szinten. A Vektortér hatása jelentős mértékben érezhető a társadalomban, ellentmondó véleményeket generált, és olyan kutatásokat és tanulmányokat indított el, amelyek mélyebben próbálnak elmélyülni a következményeiben. Megalakulása óta a Vektortér emberek millióinak figyelmét keltette fel szerte a világon, valódi érdeklődést váltva ki, és arra motiválta a szakembereket és szakértőket, hogy foglalkozzanak a különböző szempontokkal és dimenziókkal. Ebben az összefüggésben fontos teljes mértékben feltárni a Vektortér mai szerepét és a mindennapi életre gyakorolt ​​hatását, valamint elgondolkodni a jövőbeni vetületén.

Vektorok összeadása és skalárral szorzása: Egy v vektort (kékkel) hozzáadunk a w vektorhoz (pirossal, alul). Fent a w vektort 2-szeresére nyújtjuk, az eredmény a v + 2·w összeg

A vektortér, más néven lineáris tér a lineáris algebra egyik legalapvetőbb fogalma, amelyhez a geometriában (is) használt vektor fogalmának általánosítása vezet. A vektorokkal végezhető műveletek legelemibb tulajdonságait axiomatikusan definiálja, ezáltal egy algebrai struktúra-típus keletkezik. A lineáris tér a mi szokásos síkunk és terünk általánosítása többdimenziós terekre. Jelentősége nem csupán elméleti, a fizikában, informatikában, a komputergrafikában, számos más elméleti és alkalmazott tudományágban; nemkülönben a matematika számos területén fontos szerepet játszik.

Formális definíció

Vektorok összeadása: a v (kékkel) és a w (pirossal) v + w összege feketével
Vektorok összeadása: a v (kékkel) és a w (pirossal) v + w összege feketével
Skalárral szorzás: a v vektor és ellentettje, −v kékkel; a w vektor pirossal, és 2w rózsaszínnel
Skalárral szorzás: a v vektor és ellentettje, −v kékkel; a w vektor pirossal, és 2w rózsaszínnel

Legyen F egy test. Egy V nemüres halmazt vektortérnek nevezünk az F test felett, ha

  • V halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, V × VV függvény, ∀ u, vV elempárhoz hozzárendel egy és csak egy V-beli elemet (u+v), valamint
  • F és V között értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet, F × VV függvény, ∀ λ ∈ F és vV elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy V-beli elemet (λv),

úgy, hogy az alábbi azonosságok, úgynevezett vektortér-axiómák teljesülnek:

  1. V az összeadásra nézve kommutatív csoportot, Abel-csoportot alkot, azaz az összeadás:
  2. Skalárral való szorzás disztributivitási szabályai:
    • ∀ λ ∈ F és u, vV: λ(u + v) = λu + λv. (disztributivitási szabály)
    • ∀ λ, μ ∈ F és vV: (λ + μ)v = λv + μv.(disztributivitási szabály)
    • ∀ λ, μ ∈ F és vV: λ(μv) = (λμ)v. (asszociativitási szabály)
    • vV: 1v = v, ahol 1 az F test egységeleme.

Formálisan tehát úgy definiálhatjuk a vektortereket, figyelembe véve, hogy egy test,
az F feletti vektortér egy algebrai struktúra, a következő formában

úgy, hogy

Abel-csoport,
skalárral való szorzás, melyre teljesülnek a fent említett disztributivitási szabályok.

Ekkor a V vektortér struktúráját a következőképpen is jelölhetjük

V elemeit vektoroknak, F elemeit skalároknak nevezzük.
Megkülönböztetünk úgynevezett speciális vektortereket is, amelyeken még egyfajta szorzás is értelmezett.
Ilyenek például a skaláris szorzattal ellátott euklideszi terek.

Elemi tulajdonságok

V Abel-csoport

  • nullvektor és az additív inverz unicitása,
  • bármely u,v,w,tV: az u+x = v, és y+w = t egyenletek egyértelműen megoldhatók V-ben x és y-ra,
  • összeadás asszociativitása és kommutativitása miatt többtagú összegek esetén a zárójelezés és a tagok sorrendje is tetszőlegesen megváltoztatható.

További következmények

  • bármely λ ∈ F: λ0 = 0,
  • bármely vV: 0v = 0, ahol 0 az F test nulleleme,
  • bármely vV: (-1)v = -v, ahol -1 az F test egységelemének additív inverze,
  • ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.
  • (-λ)v = -(λv) = λ(-v)

Példák

Példa függvények összeadására: a szinuszfüggvény és az exponenciális függvény összege,

A lineáris tér egy nagyon általános fogalom, rengeteg példa van rá a matematikában. Nagyon sok olyan matematikai fejezetben is megjelenik, amit szerteágazóan alkalmaznak a fizika számos területén, például a funkcionálanalízis vagy éppen a differenciálgeometria, hogy csak néhányat említsünk.

  • a közönséges síkbeli és térbeli, origóból kiinduló vektorok a valós test felett a szokásos vektorösszeadásra és skalárral való szorzásra nézve,
  • a valós szám n-esek felett, a komplex szám n-esek felett, és
  • általában F n, F felett (F tetszőleges test), a szokásos módon értelmezett, komponensenként végzett műveletekre; ezeket a vektorokat általában oszlopvektorként ábrázolják,
  • F n × k, F felett, azaz az n×k-as mátrixok F test felett, a mátrixok szokásos, komponensenkénti összeadására és skalárral való szorzására nézve.
  • F , azaz az F feletti polinomok, F felett, a polinomok összeadására és skalárral való szorzására nézve,
  • a legfeljebb n-edfokú polinomok F felett,
  • valós számsorozatok a valós test felett a szokásos műveletekre,
  • az intervallumon folytonos -be képező függvények a valós test felett, a szokásos pontonkénti összeadásra, és skalárral való szorzásra nézve,
  • az intervallumon Riemann-integrálható -be képező függvények a valós számok teste felett, a szokásos pontonkénti összeadásra, valamint a skalárral való szorzásra nézve,
  • a komplex számok a valós test felett, a komplex számok körében értelmezett műveletekre,
  • a komplex számok a komplex számok teste felett,
  • a valós számok a valós számok teste felett,
  • a komplex számok a valós számok felett,
  • a valós számok a racionális számok felett,
  • általában, testbővítés esetén a bővebb test a szűkebb felett,
  • a valószínűségi változók a szokásos összeadásra és skalárral való szorzásra nézve,
  • az euklideszi sík, illetve tér eltolásai, hiszen az eltolások egymás utáni végzése megfelel a vektorok összeadásának, és a skalárszoros eltolás megfelel az eltolásvektor skalárszorosának. A nullelem az identitás, aminek megfelelője a nullvektor.

Lineáris altér

Az R3 vektortér néhány altere: két, az origón átmenő sík (sárga és zöld) és metszésvonaluk, egy origón átmenő egyenes (kékkel)

Egy F test feletti V vektortér egy nemüres WV részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre, precízebben ezeknek a műveleteknek W-re történő megszorításaira nézve. Jelölése WV. Mivel W vektortér, azért tartalmazza a nullvektort.

Minden vektortér tartalmazza önmagát és a csak nullvektorból álló vektorteret. Minden altér előáll a másik vektortér képeként úgy, hogy egy lineáris leképezés leképez egy másik vektorteret a tartalmazó vektortérbe; és magtérként is úgy, hogy egy lineáris leképezés leképezi a tartalmazó vektorteret egy másik vektortérbe. Ekvivalenciaosztályok képzésével egy vektortérből és alteréből hányadostér, más néven vektortér állítható elő; ami összefügg az altérnek azzal a tulajdonságával, hogy előáll képként, lásd homomorfizmustétel.

Lineáris leképezések

A lineáris leképezések egy vektorteret egy másikba képeznek a struktúra megtartásával. Az univerzális algebra szerint homomorfizmusok a vektorterek között. Egy ugyanazon test fölött definiált vektorteret vektortérbe vivő függvény lineáris leképezés, ha minden és minden esetén:

Ekkor kompatibilis a struktúrákkal, amelyek a vektorteret felépítik: az összeadással és a skalárral szorzással. Két vektortér izomorf, ha van köztük bijektív lineáris leképezés, vagyis van inverz függvény. Ez az inverz függvény automatikusan lineáris. Az izomorf vektorterek nem különböznek egymástól struktúrájukban.

Lineáris kombináció

V vektortér v1, v2, …, vk tetszőleges vektorai és λ1, λ2, …, λkF skalárok.
Ekkor a V vektort a vi vektorok, λi skalárokkal képzett lineáris kombinációjának nevezzük.

Lineáris függetlenség

Egy V vektortér véges sok vektoráról akkor mondjuk, hogy lineárisan függetlenek, ha lineáris kombinációjuk csak úgy lehet a nullvektor, ha mindegyik skalár szükségképpen 0. Végtelen sok vektor lineáris függetlenségén azt értjük, hogy közülük bármely véges sok lineárisan független. A v1,…,vnV vektorok lineárisan összefüggőek, ha lineárisan nem függetlenek, tehát

nem mind nulla skalár, azaz közülük legalább egy nem nulla, hogy

Lineáris burok

Néhány vektor lineáris burka az a vektorhalmaz, ami előáll a vektorok lineáris kombinációjaként. Ez egy altér, és a legkisebb vektortér, ami a vektorokat tartalmazza.

Bázis

Egy v vektor az R2 térben (kékkel) különböző bázisokban kifejezve: az R2 standard bázisában: v = xe1 + ye2 (feketével), és egy másik, nem ortogonális bázisban: v = f1 + f2 (pirossal)

A bázis a lineáris algebrában egy olyan vektorhalmazt jelent, mely vektorainak lineáris kombinációi reprezentálják egy megadott vektortér valamennyi vektorát, valamint e vektorhalmaz semelyik eleme sem fejezhető ki a többi elem lineáris kombinációjával.
Tehát bázison lineárisan független generátorrendszert értünk.

Feltéve a kiválasztási axiómát, a Zorn-lemma biztosítja, hogy minden vektortérnek van bázisa. A Zermelo-Frankel axiómarendszerben ez az állítás ekvivalens a kiválasztási axiómával.

Ha egy vektort kifejezzük egy generátorrendszer elemeinek lineáris kombinációjaként, akkor a lineáris kombinációban szereplő skalárok a vektor koordinátái az adott bázisban. Egy generátorrendszerben a vektortér minden vektora kifejezhető koordinátákkal; azonban, ha a generátorrendszer nem lineárisan független, akkor ez nem egyértelmű; viszont egy bázisban a koordináták már egyértelműek. Ez megkönnyíti a számításokat, mivel a vektorok helyett koordinátavektorok használhatók.

Dimenzió

Ha adott egy V vektortér, akkor minden bázisának elemszáma, számossága ugyanaz. Ez a számosság a V vektortér dimenziója. Ha a vektortérnek nincs véges generátorrendszere, akkor dimenziója végtelen. A 0 tér dimenziója: 0.

Két, azonos test fölötti vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. Ez lehetővé teszi, hogy a vektorterek bázisainak elemei megfeleljenek egymásnak, ami kiterjeszthető lineáris leképezéssé; így a véges vektorterek közötti lineáris leképezések mátrixszal ábrázolhatók.

Vektorterek izomorfizmusa

Definíció

Két vektortér, V1 és V2 izomorf egymással, ha létezik egy kölcsönösen egyértelmű, injektív lineáris (homogén) leképezés V1-ből V2-re.

Azaz

lineáris leképezés bijektív.

A vektorterek halmazán az izomorfia meghatároz egy osztályozást. Ez az osztályozás a halmazt diszjunkt részhalmazok uniójára bontja fel. Két vektortér akkor és csak akkor kerül ugyanabba az osztályba, ha izomorf.
E reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív, vagyis az izomorfia ekvivalenciareláció.

Magtér, képtér

Ha tetszőleges lineáris leképezés, akkor a magtér és a képtér

Megjegyzés: a magtér a V, a képtér a W vektortér altere.

Tulajdonságok

Véges dimenziós vektorterek tulajdonságai

  • Egy lineáris leképezés akkor és csak akkor izomorfizmus, ha
  • Ha V vektortér F felett, valamint
  • Ugyanazon F test feletti véges dimenziós vektorterekre fennáll:

Dimenziótétel

A dimenziótétel azt állítja, hogy tetszőleges lineáris leképezés képterében illetve magterében lévő bármely lineáris független generátorrendszer összelemszáma a kiindulási vektortér dimenziójával egyenlő. Formálisan

V1 és V2, két tetszőleges, véges dimenziós vektortér ugyanazon F test felett, továbbá tetszőleges lineáris leképezés V1-ből V2-be. Ekkor

Műveletek vektorterekkel

Homomorfizmus

Az algebrában egy struktúra egy másikra vett leképezése homomorfizmus, ha megtartja az adott struktúrán végezhető műveleteket. Például vektortér esetén ez azt jelenti, hogy a leképezés megőrzi az összeadást és a skalárral szorzást. Legyenek , vektorterek az test fölött; ekkor homomorfizmus, ha minden és minden esetén:

ami éppen a lineáris leképezés definíciója.

Faktortér

V egy tetszőleges vektortér F felett, és U egy tetszőleges altere V-nek. A

halmazok, ahol v befutja az egész vektorteret, diszjunkt részhalmazok uniójára bontják V-t, ugyanis ha
akkor és diszjunkt, ha akkor
Definiálunk két műveletet e halmazok körében

Az ily módon definiált műveletek egyértelműek, mivel

Így egy vektorteret kaptunk, melyet a V vektortér U altere szerinti faktorterének nevezünk, vagy röviden a faktortér, szokás hányadosterének is nevezni.
A faktortér elemei a vektorhalmazok, az additív egységelem a

Direkt összeg

Ha vektorterek ugyanazon test fölött, akkor direkt összegük az a vektortér, melynek elemei úgy képződnek, hogy az első komponens az első, a második komponens a második vektortér eleme:

A vektorokat komponensenként adjuk össze és a skalárral szorzást is komponensenként végezzük. A vektortér dimenziója a tagok dimenziójának összege. Az összeg elemeit helyett írják úgy is, mint . A direkt összeg általánosítható véges és végtelen tagra is; utóbbi esetén csak véges sok tag különbözhet a nullvektortértől.

Direkt szorzat

Ha vektorterek ugyanazon test fölött, akkor direkt szorzatuk az a vektortér, melynek elemei úgy képződnek, hogy az első komponens az első, a második komponens a második vektortér eleme:

.

A vektorokat komponensenként adjuk össze és a skalárral szorzást is komponensenként végezzük. A vektortér dimenziója a tagok dimenziójának összege. A direkt összeg általánosítható véges és végtelen tényezőre is; utóbbi esetben akár végtelen sok tényező is különbözhet a nullvektortértől.

Tenzorszorzás

A tenzorszorzás univerzális tulajdonságát szemléltető kommutatív diagram

Ha vektorterek ugyanazon test fölött, akkor tenzorszorzatukat

jelöli. A tenzorszorzat elemeinek bilineáris ábrázolása:

,

ahol az elemek skalárok, bázis -ben és bázis -ben. Ha vagy végtelen dimenziós, akkor csak véges sok tag különbözhet nullától. Ekkor dimenziója és dimenziójának szorzata. A tenzorszorzás is általánosítható több vektortérre.

Vektorterek további struktúrával

néhány -normához tartozó egységgömb: az 1-es normához tartozó sárgával, a 2-es normához tartozó zölddel és a végtelen normához tartozó pirossal. A halványsága csúcsra állított négyzet azokat a pontokat jelöli, melyek 1-normája 2

A matematika több alkalmazásában, például a geometriában és az analízisben van, hogy nem elegendő a vektortér struktúra, hanem még további struktúrát is feltételezni kell; így biztosítva például normát vagy határérték létezését. Például:

  • euklidészi vektorterek: skalárszorzattal ellátott valós vektortér. A prehilbertterek speciális esete.
  • normált tér: egy olyan vektortér, amiben a vektoroknak hossza (normája) van. Ez egy nemnegatív szám, amire teljesül a háromszög-egyenlőtlenség.
  • prehilberttér: skalárszorzattal ellátott valós vagy komplex vektortér. Egy ilyen térben a vektorok hossza mellett még a vektorok szöge is definiálható. A topologikus vektortér speciális esete.
  • topologikus vektortér: topologikus tér fölötti vektortér, ahol a vektorok összeadása és a skalárral szorzás folytonos műveletek.
  • unitér vektortér: többnyire komplex vektortér skalárszorzattal ellátva. A prehilberttér speciális esete.

Topologikus vektorterekben kezelhető a konvergencia, a teljesség és az egyenletes konvergencia. A teljes normált terek Banach-terek, a teljes prehilbertterek Hilbert-terek.

Általánosítások

  • Ha a teret test helyett gyűrű felett definiáljuk, akkor modulust kapunk. Egyes szerzők csak kommutatív gyűrűk fölött definiálnak modulusokat. A kommutatív gyűrűk fölötti modulusok az Abel-csoport és a vektortér közös általánosításai.
  • Egyes szerzők a ferdetestek fölötti modulusokat is vektortérnek nevezik. Kommutativitás hiányában beszélhetünk bal- és jobbvektorterekről. Ez a helyzet összehasonlítható nem kommutatív gyűrűk fölötti modulusokkal. A cikkben megadott definíció ekkor a balvektorterekhez vezet, mivel a skalár a bal oldalon áll. A jobbvektorterek ennek tükörképi párjai, a skalár jobb oldalon jelenik meg. Több alapvető eredmény átvihető ferdetestek fölé, például bázis létezése.
  • Ha test helyett féltestet veszünk, akkor félvektorteret kapunk.
  • Egy másik általánosítás a vektornyaláb, ami vektorterek egy topologikus tér pontjaival paraméterezett családja.

Történeti megjegyzés

Bartel Leendert van der Waerden megjegyzi, hogy tudomása szerint az n-dimenziós vektortér fogalmát először Hermann Günther Graßmann használta 1844-ben megjelent Die lineale Ausdehnungslehre című könyvében. Implicit már korábban is használták a fogalmat.

Kapcsolódó szócikkek

Irodalom

  • Bronstejn – Szemengyajev – Musiol: Matematikai kézikönyv' (TypoTeX, 2002)
  • Dancs I. – Puskás Cs.: Vektorterek (Aula Kiadó, 2003)
  • Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Tankönyvkiadó, 1978)
  • Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás. Bolyai-könyvek sorozat (Műszaki Könyvkiadó, 1998)
  • Surányi László: Algebra, testek, gyűrűk, polinomok (TypoTeX, 2004)
  • Szász Gábor: Matematika II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000)
  • Szendrei János: Algebra és számelmélet (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1996)

Források

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Vektorraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

További információk