Hatszögszámok

A hatszögszámok a figurális számokon belül a sokszögszámok közé tartoznak. Az n-edik hatszögszám h_n a közös csúcsból rajzolt, legfeljebb n pont oldalhosszúságú szabályos hatszögek körvonalai egymástól különböző pontjainak száma.

A h_n általánosan a következő képlettel adható meg:

${\displaystyle h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={{2n}\times {(2n-1)} \over 2}.\,\!}$

Az első néhány hatszögszám:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035. (A000384 sorozat az OEIS-ben)

Minden hatszögszám háromszögszám, de csak minden második háromszögszám (az 1., 3., 5., 7. stb.) hatszögszám.

Minden páros tökéletes szám hatszögszám, a következő képlet alapján:

${\displaystyle M_{p}2^{p-1}=M_{p}(M_{p}+1)/2=h_{(M_{p}+1)/2}=h_{2^{p-1}}}$

ahol M_p egy Mersenne-prím.

Például a második hatszögszám 2×3 = 6; a negyedik 4×7 = 28; a tizenhatodik 16×31 = 496 és a hatvannegyedik 64×127 = 8128.

A legnagyobb szám, ami nem írható fel legfeljebb négy hatszögszám összegeként, a 130. Adrien-Marie Legendre 1830-ban bebizonyította, hogy bármilyen 1791-nél nagyobb egész szám kifejezhető ilyen módon.

A hatszögszámok nem tévesztendők össze a középpontos hatszögszámokkal.

A legegyszerűbb mód annak eldöntésére, hogy egy x pozitív egész hatszögszám-e a következő képlet kiszámítása:

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}+1}{4}}.}$

Az x akkor és csak akkor hatszögszám, ha n természetes szám. Ebben az esetben x az n-edik hatszögszám.

A hatszögszámok sorozatának n-edik eleme kifejezhető a nagy szigma-jelölés segítségével is:

${\displaystyle h_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}{(4i+1)}}$,

ahol az üres összeg értékét 0-nak tekintjük.

• Középpontos hatszögszámok

• Mathworld entry on Hexagonal Number