Unitér csoport

Az unitér csoport, jelölés szerint ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ a matematikában az unitér ${\displaystyle n\times n}$ mátrixok csoportja, melynek asszociatív csoportművelete a mátrixszorzás. Az unitér csoport részcsoportja az általános lineáris csoportnak (${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$). Az ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ fontos részcsoportja a speciális unitér csoport ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$, amely olyan unitér mátrixokat tartalmaz, melyeknek determinánsa egy.

A legegyszerűbb unitér csoport az ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$, amely megfeleltethető a körcsoportnak, az egységhosszúságú komplex számok csoportjának. Az ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ csoport elemei tehát ábrázolhatók a komplex sík egységkörén.

Az unitér csoport ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ egy ${\displaystyle n^{2}}$-dimenziós valós sima sokaság, amelyben a mátrixszorzás tetszőlegesen sokszor differenciálható, ezért egy Lie-csoport. A csoport Lie-algebrája ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$ az ${\displaystyle n\times n}$ antihermitikus mátrixok algebrája, ahol a Lie-zárójel a mátrixok kommutátora.

Mivel egy ${\displaystyle n\times n}$ unitér mátrix determinánsa egy egységhosszúságú komplex szám, a

${\displaystyle \operatorname {det} :\operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1)}$

egy csoporthomomorfizmus, melynek magja pontosan ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$. Ennek következtében

${\displaystyle 1\to \operatorname {SU} (n)\to \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1)\to 1}$

Lie-csoportok rövid egzakt sorozata. Az ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ abban az értelemben tekinthető ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ részcsoportjának, hogy olyan diagonális mátrixok ábrázolják az elemeit, amelyeknek első eleme ${\displaystyle e^{i\theta }}$, a többi ${\displaystyle n-1}$ eleme pedig 1. Ennek következtében ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ felírható az ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ és ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ féldirekt szorzataként.

Az unitér csoport csak ${\displaystyle n=1}$ esetén kommutatív. A Schur-lemma következtében az ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ csoport centruma az ${\displaystyle \lambda I_{n}}$ alakba írható mátrixok halmaza, ahol ${\displaystyle \lambda \in \operatorname {U} (1)}$ és ${\displaystyle I_{n}}$ az ${\displaystyle n\times n}$ egységmátrixot jelöli. Az ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ centruma tehát izomorf a csoport egy egydimenziós kommutatív normálosztójához (${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-hez), így az unitér csoport reduktív csoport.

Az unitér csoport részhalmaza ${\displaystyle \operatorname {M} (n,\mathbb {C} )}$-nek, az ${\displaystyle n\times n}$ komplex mátrixok halmazának, amely homeomorf a ${\displaystyle 2n^{2}}$-dimenziós euklideszi térhez. Az unitér csoport, felruházva ${\displaystyle \operatorname {M} (n,\mathbb {C} )}$ részhalmazaként az altér-topológiával, egy topologikus teret alkot, amely kompakt és összefüggő. Az összefüggőség abból következik, hogy bármely ${\displaystyle U}$ unitér mátrix diagonalizálható egy ${\displaystyle V}$ unitér mátrixszal, a sajátértékei pedig egységhosszúságú komplex számok, tehát

${\displaystyle U=V\operatorname {diag} (e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}})V^{-1}.}$

Mivel a csoport egységelemét és egy tetszőleges ${\displaystyle U}$-t összeköti egy ${\displaystyle t\mapsto V\operatorname {diag} (e^{it\theta _{1}},\dots ,e^{it\theta _{n}})V^{-1}.}$ út, ezért ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ útszerűen összefüggő, tehát összefüggő. Azonban az unitér csoport nem egyszeresen összefüggő, ugyanis a fundamentális csoportja izomorf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-vel.^[1] Ez a tulajdonság abból látható, hogy ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ felírható ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ és ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ féldirekt szorzataként, így az unitér csoport fundamentális csoportja megfeleltethető ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ és ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ fundamentális csoportjainak Descartes-szorzatával. A speciális unitér csoport egyszeresen összefüggő, tehát a fundamentális csoportja triviális, míg az egydimenziós unitér csoport topológiailag egy kör, amelynek fundamentális csoportja izomorf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-vel. A determináns ${\displaystyle \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1)}$ indukálja a fundamentális csoportok izomorfizmusát.

Az unitér csoport Weyl-csoportja a szimmetrikus csoport ${\displaystyle S_{n}}$.

Ez a szócikk részben vagy egészben az Unitary group című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Hall, Brian C.. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 2nd, Graduate Texts in Mathematics, Springer (2015). ISBN 978-3319134666