Asszociativitás

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A matematikában az asszociativitás vagy csoportosíthatóság a kétváltozós (binér/bináris) matematikai műveletek egy tulajdonsága, fontos algebrai azonosság: ha ${\displaystyle A}$ egy tetszőleges halmaz és ${\displaystyle *\!:\ A\times A\rightarrow A}$ egy rajta értelmezett kétváltozós művelet (szokásos jelölés tetszőleges ${\displaystyle x,y\in A}$ elemekre a ${\displaystyle *\!(x,y)=c\in A}$ helyett ${\displaystyle x*y=c}$); ezt akkor mondjuk asszociatívnak, ha ${\displaystyle A}$ tetszőleges ${\displaystyle x,y,z}$ elemeire teljesül:^[1]

$${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$$

Ez a függvény fordított lengyel jelöléssel (RPN — Reverse Polish Notation) így írható:

$${\displaystyle x\ y\ z**=y\ z\ x**}$$

Például a természetes, valós vagy akár a komplex számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás mind asszociatív: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$, szorzás esetében ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$. (Itt ${\displaystyle a,b,c}$ mindkét példa esetében tetszőleges természetes, egész, racionális, valós vagy akár komplex szám.)

Azokat az ${\displaystyle (A,*)}$ matematikai struktúrákat, melyek ${\displaystyle *}$ művelete asszociatív, félcsoportoknak nevezzük.

Az asszociativitás fenti követelménye valójában csak speciális esete a következő tulajdonságnak:

Tétel: Ugyanazt jelentik (ekvivalensek) a következő állítások:

• Az A halmazon értelmezett ${\displaystyle *}$ kétváltozós művelet asszociatív;
• Tetszőleges ${\displaystyle n}$ db. (nem feltétlenül különböző) ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A}$ elemekre az ${\displaystyle a_{1}*a_{2}*\dots *a_{n}:=c\in A}$ műveletsorozat bármilyen szabályos zárójelezéssel ugyanazt a rögzített ${\displaystyle c}$ elemet adja; itt ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$.^[2]
• Legyenek ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{k}}$ tetszőleges A-beli véges sorozatok, ekkor ${\displaystyle \textstyle \prod (A_{1}\vee A_{2}\vee \ldots \vee A_{k})=\textstyle \prod (A_{1})\cdot \textstyle \prod (A_{2})\cdot \ldots \cdot \textstyle \prod (A_{k})}$, ahol ${\displaystyle \textstyle \prod }$ a sorozatok A-beli produktumát (elemeinek sorrendben való összeszorzását), míg ${\displaystyle \vee }$ az adott sorrendben való „egyesítésüket” jelöli.

Egységelemes félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla tagjuk legyen.

(A fenti állítások igazolása értelemszerűen végzett teljes indukcióval történhet.)

Egy művelet asszociativitása a művelettáblájáról (Cayley-tábla) általában nem olvasható le olyan könnyen, mint például a kommutativitás. Az asszociativitás megállapítására át kell alakítani a táblázatot, erre alkalmas az ún. Light-féle eljárás.

Bár nincs szakkönyv, amely ne tekintené-nevezné a halmazműveleteket asszociatívnak, hiszen formálisan érvényes ${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$ (az unió „asszociativitása”) és ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$ is (a metszetképzés „asszociativitása”), meg kell jegyeznünk, hogy az asszociativitás fogalma csak műveletekre van definiálva, a halmazműveletek pedig nem szigorú értelemben vett matematikai műveletek, hiszen műveletet csak valamilyen alaphalmaz felett értelmezhetünk (az összes halmaz halmazáról viszont, aminek a halmazműveletek alaphalmazának kellene lennie, ellentmondásossága miatt nem beszélhetünk). Azok a szakkönyvek, amelyek a halmazműveleteket valamely U halmaz hatványhalmazának elemeire, azaz egy U részhalmazaira szorítkozva definiálják, matematikai szempontból teljesen kifogástalanul járnak el, és ez esetben valóban beszélhetünk a halmazműveletek asszociativitásáról.

• Alice és Bob - 11. rész: Alice és Bob számelméletet épít
• Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz
• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik

• Kommutativitás
• Disztributivitás