Speciális lineáris csoport

Speciális lineáris csoportnak nevezzük és ${\displaystyle SL(n,K)}$-val (néha ${\displaystyle SL_{n}(K)}$-val) jelöljük a ${\displaystyle K}$ test feletti ${\displaystyle n\times n}$-es, 1 determinánsú mátrixok multiplikatív csoportját. Értelemszerűen ${\displaystyle SL(n,K)}$ elemei felfoghatóak a ${\displaystyle K}$ fölötti n dimenziós vektortér transzformációiként, és ${\displaystyle SL(n,K)}$ részcsoportja a ${\displaystyle GL(n,K)}$ általános lineáris csoportnak. Amennyiben ${\displaystyle K}$ véges test, ${\displaystyle SL(n,K)}$ helyett gyakran ${\displaystyle SL(n,q)}$-t írunk, ahol ${\displaystyle q}$ jelöli a ${\displaystyle K}$ test elemszámát (ilyenkor persze ${\displaystyle q}$ prímhatvány).

• ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ a sík terület- és irányítástartó lineáris transzformációinak a csoportja.
• ${\displaystyle SL(2,3)}$ a háromelemű test fölötti, 1 determinánsú ${\displaystyle 2\times 2}$-es mátrixok csoportja.

Az alábbi ábra az ${\displaystyle SL(2,3)}$ csoport szorzótáblája. A zöld, piros és üres körök a háromelemű test elemeit reprezentálják: az üres kör jelöli nullelemet, a zöld az egységelemet, a piros pedig a 2=-1 elemet. A kis kétszer kettes kockák a háromelemű test feletti 1 detetminánsú ${\displaystyle 2\times 2}$-es mátrixok, magának a csoportnak az elemei. Látható, hogy az ${\displaystyle SL(2,3)}$ rendje 24. A háttérszínek jelzik az egyes elemek rendjét:

• sötétszürke: 1
• világosszürke: 2
• sárga: 3
• kék: 4
• fehér: 6

Alaptest rendje	Mátrixok rendje	Csoport szokásos elnevezése	Csoport rendje
${\displaystyle q}$	1	triviális csoport	${\displaystyle 1}$
2	2	${\displaystyle S_{3}}$, harmadfokú szimmetrikus csoport	${\displaystyle 6=2\cdot 3}$
3	2	${\displaystyle SL(2,3)}$ speciális lineáris csoport	${\displaystyle 24=2^{3}\cdot 3}$
4	2	${\displaystyle A_{5}}$ alternáló csoport	${\displaystyle 60=2^{2}\cdot 3\cdot 5}$
5	2	${\displaystyle SL(2,5)}$ speciális lineáris csoport	${\displaystyle 240=2^{4}\cdot 3\cdot 5}$
2	3	${\displaystyle GL(3,2)}$ általános lineáris csoport	${\displaystyle 168=2^{3}\cdot 3\cdot 7}$

${\displaystyle SL(n,q)}$ elemszámának meghatározásához azt kell meggondolni, hogy az a leképezés, amely ${\displaystyle GL(n,q)}$ elemeihez a determinánsukat rendeli, homomorfizmus az általános lineáris csoportból a q elemű test nemnulla elemeinek szorzáscsoportjába, amely q-1 elemű. Ennek a homomorfizmusnak éppen ${\displaystyle SL(n,q)}$ a magja. Épp ezért

${\displaystyle |SL(n,q)|={|GL(n,q)| \over {q-1}}}$

Az általános lineáris csoport elemszáma viszont ismert:

${\displaystyle \displaystyle |GL(n,q)|=\prod _{j=1}^{n}\left({q^{n}-q^{j-1}}\right)}$

és így

${\displaystyle \displaystyle |SL(n,q)|={{\prod _{j=1}^{n}\left({q^{n}-q^{j-1}}\right)} \over {q-1}}}$.

• Vipul Naik: Special linear group. Groupprops. (Hozzáférés: 2013. november 5.)