Navier–Stokes-egyenletek

Ezt a szócikket némileg át kellene dolgozni a wiki jelölőnyelv szabályainak figyelembevételével, hogy megfeleljen a Wikipédia alapvető stilisztikai és formai követelményeinek. Indoklás: Szövegközi interwikik

Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szöveg helyesírását és nyelvhelyességét, a tulajdonnevek átírását. Esetleges további megjegyzések a vitalapon.

A Navier–Stokes-egyenleteket Claude Navier és George Gabriel Stokes állították fel folyékony anyagok mozgásának, áramlásának leírására. Ezekkel az egyenletekkel a szerzők Newton második törvényének az áramló folyékony anyagokra való alkalmazását tűzték ki célul, azt véve alapfeltételül, hogy az ilyen anyagokban fellépő feszültség két összetevőből áll: egy a folyékony anyag sebességgradiensével arányos diffúziós (vagyis a viszkozitást jellemző) kifejezés összetevőből és egy nyomás összetevőből.

Az egyenletek jelentősége abban áll, hogy számos, mind elméleti, mind gyakorlati (gazdasági) jelentőségű fizikai feladat megfogalmazására és ezekhez kapcsolódó jelenségek leírására alkalmazhatók. Ezekkel leírhatjuk nemcsak az időjárást, a folyadékok csővezetékekben, (nem kör keresztmetszetű) csatornákban vagy óceánokban előforduló mozgását, hanem a levegő repülőgépek szárnyai körül észlelt áramlását is, sőt szilárd testek folyékony anyagokon keresztül, például csillagok galaxisokon belüli mozgását is. A Navier–Stokes-egyenleteket egyszerűsített formájukban nemcsak repülőgépek és gépjárművek, hanem elektromos erőművek tervezésére, valamint az atmoszferikus szennyezés felmérésére is alkalmazhatjuk, továbbá a véráramlás, valamint Maxwell egyenleteivel összekapcsolva a magnetohidrodinamika modellezésére is.

A Navier–Stokes-egyenletek tiszta matematikai értelemben is fontosak. Ennek ellenére, a széles körű alkalmazás dacára a matematikusok eddig még nem találtak a háromdimenziós egyenleteket kielégítő megoldást. (Sem a megoldás létezése nincs bizonyítva, sem az, hogy ha a megoldás létezik, akkor sima.)

A Navier–Stokes-egyenletek úgynevezett „létezési és simasági” problémájának megoldását olyan nagy fontosságúnak tartják, hogy az amerikai Clay Mathematics Institute az „évezred hét legfontosabb matematikai problémája egyikének” nevezte, és megoldója számára egymillió dolláros jutalomdíjat tűzött ki.^[1]

Mivel a Navier–Stokes-egyenletek nem helyzetet, hanem sebességet írnak le, a háromdimenziós egyenletek „sebességmezőt” vagy „folyásmezőt” ábrázolnak, amely az áramlási sebességet adja meg az idő függvényében az erőtér minden egyes pontjára, miután a sebességmező-eloszlás leírására megoldást találtunk. A többi változó, vagyis az áramlási sebesség, illetve a folyadék-ellenállás térbeli eloszlása szintén meghatározható.

Ez a számítás nagymértékben különbözik a klasszikus mechanika által alkalmazott módszertől, ahol nem az egyedi részecskék térbeli pontokhoz kapcsolt sebességének, hanem azok röppályájának vagy egy kontinuum elhajlásának a meghatározása a tipikus számítási feladat. Folyadékok esetében a sebességeloszlás meghatározása logikusabb.

A Navier–Stokes-egyenletek a gyakorlati esetek többségében nemlineáris parciális differenciálegyenletek, bár esetenként, például egydimenziós folyás és Stokes-folyás (vagy kúszó folyás) esetében lineárisra egyszerűsíthetők. A nemlinearitás miatt ezek a problémák az esetek többségében bonyolulttá, sőt megoldhatatlanná válnának, ami a Navier–Stokes-egyenletek alkalmazását turbulens folyás leírására és modellezésére elkerülhetetlenné teszi.

A nemlinearitás áramlási „gyorsulásból”, vagyis helyzetváltozással járó sebességváltozásból ered. Ezért az áramlás, legyen az lamináris vagy turbulens, mindig jár nemlinearitással. A lamináris áramlás jó példája egy viszkózus folyadék (olaj) egy kis átmérőjű szűkülő fecskendőben való áthaladása. Ilyen esetek tanulmányozásával közelítő megoldást nyerhetünk.

A turbulencia számos mozgó folyadékban tapasztalt időben zajló kaotikus jelenség. Az általános nézet szerint ez a folyadékrészecskék tehetetlenségének, vagyis azok időbeli konvekciós sebességváltozásának („gyorsulásának”) a következménye. Olyan folyás esetén, amikor a tehetetlenségi erő kis szerepet játszik, a folyás lamináris, és hogy ez a szerep milyen mértékben érvényesül, azt a Reynolds-szám alapján tudjuk megállapítani.

Ez: ${\displaystyle Re={dv\rho \over \mu }}$, vagyis a csatornaátmérő (d), az átlagos folyadéksebesség (v) és a folyadéksűrűség (ρ) szorzata a folyadék viszkozitásával (μ) osztva.

A Navier–Stokes-egyenletek használata turbulens folyadék mozgásának leírására nem jelenti azt, hogy ez nem bonyolult: numerikus, iteratív (vagyis lépésről lépésre végzett) számítás használatához olyan apró lépéseket kell választani, ami a számítást igen lassúvá teszi (lásd en:direct numerical simulation, vagyis direkt numerikus szimuláció); egyszerű lamináris feltételekből kiinduló közelítések pedig nem vezetnek megbízható eredményhez. Ennek elkerülésére a en:computational fluid dynamics (CFD), vagyis komputációs folyadékdinamika idő-átlagolt egyenleteket használ gyakorlati turbulens folyadék áramlási problémák megoldására. Ilyen számítás egyik példája a turbulencia-modellel (például a k-ε modellel) támogatott, Reynolds-szám átlagolt Navier–Stokes-egyenlet, vagy RANS.

A Navier–Stokes-egyenletek turbulens esetre való alkalmazására hasonló a en:Large eddy simulation (L.E.S.) módszer, ami az előbbinél több időt és számítógép-memóriát igényel, de gyorsabb, és megbízhatósága is nagyobb.

A Navier–Stokes-egyenletek alkalmazása önmagukban nehézkes, de kisegítő összefüggésekkel (például az anyagmegmaradás elvének) együttes alkalmazásával, valamint jól megválasztott határfeltételekkel az egyenletek jó modellként szolgálhatnak folyadékmozgás leírására; a számítási eredmények a gyakorlati megfigyelésekkel még turbulens viszonyok esetében is egyeznek.

A Navier–Stokes-egyenletek feltételezik, hogy a vizsgált folyadék kontinuum, amely nem áramlik relativisztikus sebességgel; kicsinyített skálán, vagy szélsőséges körülmények között diszkrét molekulákból álló reális (más néven nem-ideális) folyadékok mozgására a Navier–Stokes-egyenletek nem alkalmasak. Ezekre az esetekre a statisztikus mechanika, vagy a molekuláris dinamika tudományága szolgáltathat megoldást. Egy ilyen számítás a dimenziómentes Knudsen-szám értékét használja.

Az egyenletek másik korlátozó tényezője a folyadék kémiai összetételétől függő bonyolultságuk. Egyes folyadékcsoportokra kipróbált módszerek állnak rendelkezésre, más, ritkább esetekre egyáltalán nem használhatók. A kutatás jelenleg ezen a téren, a használhatóság kiterjesztésének problémáján folyik. A különleges komplikációk miatt az egyenleteket leggyakrabban en:Newtonian fluid, vagyis Newton-féle folyadékok esetében alkalmazzák; ilyen folyadékok tanulmányozása egyszerűbb, mert ezek viszkozitási modellje lineáris. Valódi nem Newton-féle esetre (pl. vérre) 2010-ben még nem létezett megfelelő modell.

Elöljáróban megjegyzendő, hogy a „folyadék” kifejezésbe bármely folyékony anyagot beleértünk. A Navier–Stokes-egyenletek egy mozgó, áramló folyadék infinitezimális részét analizálják Newton második törvénye, vagyis az impulzus (momentum) megmaradásának törvénye alapján (ideértve az anyag- illetve az energia-megmaradás törvényeit is).^[2]

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \mathbb {T} +\mathbf {f} ,}$

ahol: ${\displaystyle \mathbf {v} }$ a folyadék sebessége, ${\displaystyle \rho }$ a folyadék sűrűsége, p a nyomás, ${\displaystyle \mathbb {T} }$ a (deviatorikus) feszültség tenzor, ${\displaystyle \mathbf {f} }$ a folyadék egységnyi köbtartalmára ható erő és ${\displaystyle \nabla }$ a nabla operátor. Ezt a kifejezést, amely Newton második törvényének nem-relativisztikus sebességgel haladó folyadék-kontinuumra való alkalmazása, Cauchy momentum egyenletének nevezzük.

Az egyenletet gyakran írják más formában, a Dv/Dt szubsztantív derivatív használatával,^{[* 1]}

ami jobban kifejezi, hogy ez Newton második törvényét írja le: ${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla p+\nabla \cdot \mathbb {T} +\mathbf {f} .}$

Az egyenlet bal oldala a gyorsulást, jobb oldala (a vizsgált infinitezimális folyadékrész egy testnek tekintve) a testre ható erők (például a tehetetlenségi erő) valamint a feszültség- (nyomás- és nyírófeszültség) változását fejezi ki.

Nagy jelentősége van annak, hogy a Navier–Stokes-egyenletekbe a folyadéknak a térbeli, időtől független konvektív gyorsulása (sebességváltozása) is beletartozik. Ennek példája folyadék áramlás egy fecskendőben. A konvektív áramlás a nemlineáris ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} ,}$ kifejezéssel ábrázolható.

Ezt kétféleképpen értelmezhetjük: a) ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} }$, vagy b) ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot (\nabla \mathbf {v} )}$,

ahol: ${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$ a ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sebességvektor deriváltja.

Mindkét értelmezés ugyanahhoz az eredményhez vezet, függetlenül attól, hogy milyen koordináta-rendszert használunk, feltételezve, hogy ${\displaystyle \nabla }$-t a kovariáns derivatív függvényeként értelmezzük.^[3]

A konvekció összefüggését leggyakrabban a következő formában írjuk: ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$,

a ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla }$ advekciós operátor használatával, mert ez egyszerűbb, mint a ${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$ tenzorfüggvényekénti ábrázolás.

Ebben az esetben ${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$ a sebességvektor tenzor deriváltja, ami Descartes-féle koordináta-rendszerben nem más, mint a komponensekként vett grádiens. A konvekció kifejezését leírhatjuk tenzor derivált nélkül is egy skaláris szorzatként^[4][5]

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {v} \|^{2}}{2}}\right)+\left(\nabla \times \mathbf {v} \right)\times \mathbf {v} .}$

Ez az értelmezési forma alkalmas nem örvénylő áramlás esetére, azaz ahol a sebességtér örvénymentes. Ez azt jelenti, hogy a rotációja (örvényessége vagy vorticitása) zérus, azaz ${\displaystyle \omega =\nabla \times \mathbf {v} =0}$.

A konvektív gyorsulás nemlineáris hatás, függetlenül attól, hogy milyen folyadékról beszélünk. Ez az effektus jelen van csaknem minden áramlási probléma esetén, egy-két kivétellel (amire példa az egydimenziós nem-kompresszibilis folyadékáramlás), de a dinamikus hatás kúszó áramlás (Stokes-féle áramlás) esetén elhanyagolható.

A folyadék feszültség hatását a szilárd anyagokban a feszültség-tenzor izotróp részéből származó nyomás gradiensnek nevezett tenzor komponens, a ${\displaystyle \scriptstyle \nabla p}$ feszültség megfelelője, azzal analóg ${\displaystyle \scriptstyle \nabla p}$ és ${\displaystyle \scriptstyle \nabla \cdot \mathbb {T} }$ felületi erő-gradiens összefüggések ábrázolják. Ilyen, normálisnak vett feszültség fellép majdnem minden esetben, legyen az dinamikus vagy sem. A feszültség tenzor anizotropikus részéből származik az összenyomhatatlan folyadékok esetén pusztán nyíró feszültséget képviselő ${\displaystyle \scriptstyle \nabla \cdot \mathbb {T} }$ erő-hatás, ami a viszkózus, vagyis a folyadék viszkozitásából eredő ellenálló erőket jelent. Itt ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {T} }$ a deviatorikus feszültség tenzor, a feszültség tenzor pedig ${\displaystyle \sigma =-p\mathbb {I} +\mathbb {T} }$,^[6] ahol ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {I} }$ a 3×3 azonossági mátrix (identity matrix). Megjegyzendő, hogy csak a nyomás gradiensnek van hatása, magának a nyomásnak nincs: a folyadék áramlás a nyomás csökkenésének következménye, így annak irányát követi.

A „p” és a ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {T} }$ feszültség-kifejezés még ismeretlen, így gyakorlati problémák megoldására önmagukban, általános formájukban az áramlási egyenleteket nem használhatjuk. Ehhez a feszültséget meghatározó, a folyadék áramlására alkalmas erőmodellt is kell alkalmazni. Erre a feszültséget és a folyadék áramlását összekötő kapcsolat, Newton második törvénye szolgál: ^[7]

Így a folyadék sajátságos tulajdonságait a számítás kezdete előtt, mint előfeltételeket kell tapasztalati adatokból meghatározni. Ezek segítségével a feszültséget a többi áramlási változó (sűrűség és sebesség) függvényeként meghatározhatjuk.

• Dr. Gruber József-Blahó Miklós: Folyadékok mechanikája. Hatodik kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1965.
• Budó Ágoston: Mechanika Tankönyvkiadó 1991.
• Lev Davidovics Landau, Evgenij Mihajlovics Lifsic, Elméleti fizika VI. - Hidrodinamika, Typotex 2009.
• Fizikai kézikönyv műszakiaknak Antal János (főszerkesztő) Műszaki könyvkiadó 1980 (I kötet 147. oldal) ISBN 963-10-3244-2.
• Modern fizikai kisenciklopédia Fényes Imre (szerkesztő) Gondolat könyvkiadó, 1971.
• Lajos Tamás: Az áramlástan alapjai. Előadási jegyzet. Budapesti Műszaki Egyetem Áramlástan Tanszék. Budapest, 1992. Kézirat. Magyar Elektronikus Könyvtár

Ez a szócikk részben vagy egészben a Navier–Stokes equations című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a fizikai témájú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!