Laplace-transzformáció

A Laplace-transzformáció egy olyan függvénytranszformáció, aminek révén egyes függvényekkel kapcsolatos problémákra kaphatunk egyszerűen választ. Eredetileg Heaviside fejlesztette ki a differenciálegyenletek megoldásához segédeszközként.

Legyen ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$ függvény, mely minden t≥0 valós számra értelmezett. A függvény Laplace-transzformáltjának nevezzük az

${\displaystyle F(s)=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t}$

függvényt. A transzformált létezésének feltétele, hogy a definícióban szereplő integrál véges legyen.^[1]

Ha a transzformált létezik és véges, akkor ${\displaystyle f(t)}$-t generátorfüggvénynek nevezzük. A transzformált jelölése: ${\displaystyle L=F}$

A transzformált létezésére elegendő feltétel, ha ${\displaystyle f(t)}$ a pozitív féltengelyen szakaszonként folytonos és exponenciálisan korlátos, azaz van olyan ${\displaystyle M>0}$ és ${\displaystyle s_{0}}$ valós szám, hogy az ${\displaystyle f(t)\leq Me^{s_{0}t}}$ egyenlőtlenség teljesül. Egészen pontosan a transzformált létezik minden olyan ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ szám esetén, amire ${\displaystyle {\mathfrak {Re}}(s)\geq s_{0}}$.^[2]

A Laplace-transzformáció lineáris, azaz két függvény összegének transzformáltja a két függvény transzformáltjának az összege, valamint bármely függvény konstans-szorosának a transzformáltja a transzformált konstans-szorosa lesz. Másképpen megfogalmazva a függvények lineáris kombinációját a Laplace-transzformáció lineáris kombinációba viszi át. Röviden: ${\displaystyle L=\alpha L+\beta L}$

Bizonyítás: ${\displaystyle L=\int \limits _{0}^{\infty }(\alpha f(t)+\beta g(t))e^{-st}\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{\infty }\alpha f(t)e^{-st}+\beta g(t)e^{-st}\mathrm {d} t=}$

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\alpha f(t)e^{-st}\mathrm {d} t+\int \limits _{0}^{\infty }\beta g(t)e^{-st}\mathrm {d} t=\alpha \int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t+\beta \int \limits _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}\mathrm {d} t=\alpha L+\beta L}$

Azaz a Laplace-transzformáció linearitása az integrálás linearitásának következménye.

${\displaystyle L=sL-f(0)}$

Bizonyítás: ${\displaystyle L=\int \limits _{0}^{\infty }f'(t)e^{-st}\mathrm {d} t=}$

${\displaystyle =\left_{0}^{\infty }-\int \limits _{0}^{\infty }f(t)(-s)e^{-st}\mathrm {d} t=}$

${\displaystyle =-f(0)+s\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t=sL-f(0)}$

Ennek akkor van jelentősége, ha a Laplace-transzformációt differenciálegyenletek megoldására használjuk.

A második derivált hasonlóan határozható meg, illetve általánosítható akárhányadik deriváltra is. A transzformáltban ekkor minden alacsonyabb rendű derivált szerepelni fog a 0-ban felvett értékkel, valamint a transzformált változójának a megfelelő hatványai.

${\displaystyle L=s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0)}$

Ez teszi lehetővé, hogy a transzformációval differenciálegyenleteket oldhassunk meg.

Konvolúciónak nevezzük az alábbi módon értelmezett műveletet:

${\displaystyle \left(f*g\right)(t)=\int \limits _{0}^{t}f(x)g(t-x)\mathrm {d} x}$

A függvénykonvolúció Laplace-transzformáltja a függvények transzformáltjainak szorzata:

${\displaystyle L=L\cdot L}$

Bizonyítás: ${\displaystyle L=\int \limits _{0}^{\infty }f*g\cdot e^{-st}\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{\infty }\left(\int \limits _{0}^{t}f(x)g(t-x)\mathrm {d} x\right)e^{-st}\mathrm {d} t=}$, és az exponenciális tényezőt két részre bontjuk

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\left(\int \limits _{0}^{\infty }f(x)e^{-sx}g(t-x)e^{-s(t-x)}\mathrm {d} x\right)\mathrm {d} t=}$, itt pedig új változót vezetünk be, mégpedig a ${\displaystyle t-x=x'}$ helyettesítéssel, így ${\displaystyle \mathrm {d} x'=\mathrm {d} t}$ lesz

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\left(\int \limits _{0}^{\infty }f(x)e^{-sx}g(x')e^{-sx'}\mathrm {d} x\right)\mathrm {d} x'=}$, az integrandusok pedig szétválaszthatóak, így kapjuk:

${\displaystyle =\left(\int \limits _{0}^{\infty }f(x)e^{-sx}\mathrm {d} x\right)\cdot \left(\int \limits _{0}^{\infty }g(x')e^{-sx'}\mathrm {d} x'\right)=}$

${\displaystyle =L\cdot L}$

Ha a függvényünket megszorozzuk egy exponenciális függvénnyel, akkor ez a transzformáltban eltolásként jelentkezik:

${\displaystyle L=F(s+\lambda )}$

Bizonyítás: ${\displaystyle L=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}f(t)e^{-st}\mathrm {d} t=}$

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-(s+\lambda )t}\mathrm {d} t=F(s+\lambda )}$

${\displaystyle L\left=F(sx)}$

Bizonyítás: ${\displaystyle L\left=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}f\left({\frac {t}{x}}\right)e^{-st}\mathrm {d} t=}$, és itt helyettesítsünk: ${\displaystyle t'={\frac {t}{x}}}$, aminek eredményeképpen ${\displaystyle \mathrm {d} t=x\mathrm {d} t'}$, így

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }f\left(t'\right)e^{-sxt'}\mathrm {d} t'=F(sx)}$

E két utóbbi tétel lehetővé teszi, hogy a hagyományos függvénytranszformációkat egyszerűen tudjuk kezelni. Ez főleg a kezdetiérték-problémák esetében lényeges, ugyanis ritkán áll rendelkezésre a ${\displaystyle t=0}$ eset, amit egyszerűen meg tudunk oldani.

A Laplace-transzformáció elsődleges alkalmazási területe az állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldása, de használható sorozatok összegének kiszámítására, a Fourier-transzformáció együtthatóinak megállapítására is.

A megoldás azon alapul, hogy a függvények deriváltjai helyettesíthetőek a Laplace-transzformáció révén, így egy egyszerű algebrai egyenletet kapunk, amit megoldva az eredeti differenciálegyenlet megoldásának Laplace-transzformáltját kapjuk. A megoldás szempontjából lényeges, hogy ismernünk kell a peremfeltételeket, ugyanis ezek a derivált transzformáltjában jelentkeznek.

Oldjuk meg a

${\displaystyle 2f''-2f'-12f=1,\,f(0)=0,\,f'(0)=0}$

kezdetiérték-problémát!

Mivel a Laplace-transzformáció lineáris művelet, a két oldalnak külön kiszámolhatjuk a transzformáltját, az egyenlőség érvényes marad. Az egyenlet alakja ekkor

${\displaystyle 2(s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0))-2(sF(s)-f(0))-12F(s)={\frac {1}{s}}}$.

Átalakítva, és a kezdeti értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy

${\displaystyle 2s^{2}F(s)-2sF(s)-12F(s)={\frac {1}{s}}}$,

ami algebrai úton ${\displaystyle F(s)}$-re rendezhető:

${\displaystyle F(s)={\frac {1}{2s(s^{2}-s-6)}}}$.

Ezt résztörtekre bonthatjuk, így az alábbi kifejezést kapjuk:

${\displaystyle F(s)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6s}}+{\frac {1}{30(s+2)}}-{\frac {1}{5(s-3)}}\right)}$,

aminek az inverz transzformáltját már elő tudjuk állítani. Ezek szerint a kezdetiérték-probléma megoldása

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{30}}e^{-2t}-{\frac {1}{5}}e^{3t}\right)}$.

Értelemszerűen akármilyen rendű differenciálegyenletet meg tudunk a transzformáltak segítségével oldani, egyszerű algebrai átalakítások révén. Ennek révén alakult ki a disztribúcióelmélet nevű matematikai tudományág.

Egyes sorok esetén ha az általános taggal adott sorozatot egy Laplace-transzformáltnak tekintjük, akkor a generátorfüggvény egy mértani sorozat szorzótényezője lesz, aminek összegét egyszerű meghatározni. Ezt az összeget integrálva kapjuk meg a sorozat összegét.^[1]

Legyen ${\displaystyle S=\sum a_{n}}$. A sorozatot felfoghatjuk úgy, mint egy ${\displaystyle F(s)}$ függvény természetes számokra való leszűkítését. Ebben az esetben felírhatjuk a generátorfüggvénnyel is, és az integrálkifejezést összegezzük. Ha a sor egyenletesen konvergens, akkor az integrálás és az összegzés felcserélhető. Az integrandus egy mértani sorozat lesz, ami egyszerűen összegezhető, majd az így kapott összegfüggvényt kell integrálni:

${\displaystyle S=\sum a_{n}=\sum F(n)=\sum \int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-nt}\mathrm {d} t=}$

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\sum f(t)e^{-nt}\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\sum \left(e^{-t}\right)^{n}\mathrm {d} t=}$.

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }f(t){\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}\mathrm {d} t}$

Számítsuk ki a

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}$

összeget!^[3]

Tételezzük fel, hogy ezt egy Laplace-transzformált. Az egyszerűbb kezelhetőség érdekében bontsuk résztörtekre:

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)}$.

Ebből a generátorfüggvény egyszerűen adódik, akár táblázatból való visszakereséssel is:

${\displaystyle f(t)=1-e^{-t}}$.

Innen a sor összege már egyszerűen meghatározható. Először felírjuk a transzformálás definícióját:

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }\left(1-e^{-t}\right)e^{-nt}\mathrm {d} t=}$,

majd felcseréljük az összegzést és az integrálást. Itt rögtön észre lehet venni, hogy ${\displaystyle n}$-re összegzünk, ezért a zárójelben írt tag, azaz a generátorfüggvény kiemelhető az összegzés elé:

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\left(1-e^{-t}\right)\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nt}\mathrm {d} t=}$

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\left(1-e^{-t}\right){\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\mathrm {d} t=1}$

A sor összege tehát 1. Erről más módszerekkel szintén meggyőződhetünk.

Egy függvény Fourier-sorát fel tudjuk írni komplex számok segítségével is. Ehhez mindössze azt kell figyelembe venni, hogy egy függvény komplex Fourier-sora a következő alakú:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}e^{ikx}}$.

Az összegben a ${\displaystyle c_{k}}$ együtthatókat a következő formula adja meg:

${\displaystyle c_{k}={\frac {\omega }{2\pi }}\int \limits _{0}^{T}f(t)e^{-ik\omega t}\mathrm {d} t}$.

Ha a függvényt a ${\displaystyle }$ intervallumon kívül nullának tekintjük, akkor a fenti formula egyben a függvény Laplace-transzformáltja is. Így megkapjuk a komplex Fourier-együtthatókat, amikből a valós együtthatókat is megkaphatjuk:

${\displaystyle a_{0}=c_{0}}$

${\displaystyle a_{k}=2\cdot {\mathfrak {Re}}(c_{k})}$

${\displaystyle b_{k}=2\cdot {\mathfrak {Im}}(c_{k})}$.

Általában a függvényt a Heaviside-féle egységugrás-függvénnyel tudjuk a perióduson kívül nullává tenni. Ezzel tulajdonképpen meg is vannak a Fourier-komponensek, egy táblázatból ki lehet őket olvasni, egyedül az ${\displaystyle s=ik\omega }$ helyettesítést kell elvégeznünk.

Határozzuk meg a fűrészfog-jel Fourier-együtthatóit!

A jel alakja

${\displaystyle f(t)={\frac {c}{T}}t}$ a ${\displaystyle \left(0,T\right]}$ intervallumon, ami egyben egy periódusa is a függvénynek.

Szorozzuk meg a függvényt a ${\displaystyle 1(t)-1(t-T)}$ tényezővel. Ez valójában az egységugrás-függvény olyan formában, hogy a perióduson kívül mindenképpen nulla legyen. Így az együtthatók kiszámítása a következő módon történik:

${\displaystyle f_{T}(t)=1(t){\frac {c}{T}}t-1(t-T){\frac {c}{T}}t}$, ahol ${\displaystyle f_{T}}$ az ${\displaystyle f}$ függvény leszűkítése a periódusra. Ennek transzformáltja

${\displaystyle F_{T}(s)={\frac {1}{s^{2}}}-e^{-Ts}{\frac {1}{s^{2}}}={\frac {1-e^{-Ts}}{s^{2}}}}$

Ez már tulajdonképpen az együtthatókat adja. Ahhoz, hogy azokat megkapjuk, a transzformáltban a változót helyettesítjük:

${\displaystyle c_{k}=F(ik\omega )={\frac {e^{-Tik\omega }-1}{k^{2}\omega ^{2}}}}$

Az egyetlen fennmaradó probléma a kezdőegyüttható meghatározása (${\displaystyle k=0}$), ezt azonban a L'Hospital-szabály alkalmazásával meg tudjuk válaszolni, így adódik:

${\displaystyle c_{0}={\frac {e^{-iT\omega }-1}{\omega ^{2}}}}$

${\displaystyle f(t)}$	${\displaystyle F(s)}$
${\displaystyle t^{n},n\in \mathbb {N} }$	${\displaystyle {\frac {n!}{s^{n+1}}}}$
${\displaystyle e^{pt}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s-p}}}$
${\displaystyle \ln t}$	${\displaystyle {\frac {C+\ln t}{2}}}$
${\displaystyle \sin nt}$	${\displaystyle {\frac {n}{s^{2}+n^{2}}}}$
${\displaystyle \cos nt}$	${\displaystyle {\frac {s}{s^{2}+n^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {sh} \,nt}$	${\displaystyle {\frac {n}{s^{2}-n^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {ch} \,nt}$	${\displaystyle {\frac {s}{s^{2}-n^{2}}}}$

• Fourier-transzformáció
• Komplex számok
• Függvények
• Komplex függvény
• Függvénytranszformáció
• Transzformáció

• B. Daviess, Integráltranszformációk és alkalmazásaik, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1983, ISBN 10-4463-7.