Előjeles számjegyes reprezentáció

A mai világban a Előjeles számjegyes reprezentáció soha nem látott jelentőséget kapott. Megjelenése óta a Előjeles számjegyes reprezentáció a társadalom széles spektrumának figyelmét és érdeklődését felkeltette, vitákat, reflexiókat és elemzéseket generált különböző területeken. Mind az akadémiai, mind az üzleti világban a Előjeles számjegyes reprezentáció tanulmányok és kutatások tárgya volt, hogy megértsék hatását és lehetőségeit. Ebben a cikkben a Előjeles számjegyes reprezentáció-hez kapcsolódó különböző szempontokat fogjuk megvizsgálni, annak eredetétől a jelenlegi vonatkozásaiig, azzal a céllal, hogy átfogó és teljes képet adjunk erről a ma oly fontos témáról.

A matematikai helyi értékes számrendszerekben az előjeles számjegyes reprezentáció azt jelenti, hogy vannak pozitív és negatív számjegyek is.

A számítások egyszerűsítésének igénye miatt Colson (1726) és Cauchy (1840) elkezdett negatív számjegyeket is használni. Selling (1887) és Cajori (1928) a negált számjegyeket újakkal helyettesítette.

Az előjeles számjegyes reprezentáció alacsony szintű programokban és akár hardveresen is gyorsíthatja a számolást, mivel csökkenti az átvitelek számát. A kettes számrendszerben a 0, 1, -1 jegyek használatával olyan számábrázolás is létezik, amivel minden egész egyértelműen ábrázolható, ha kikötjük, hogy minden nem nulla számjegyet el kell választania legalább egy nullának.[1] A kiegyensúlyozott hármas számrendszert a szteganográfiában használják.

Kiegyensúlyozott számrendszerek

Ha a számrendszer alakja b, akkor az előjeles számjegyes számábrázolásokban a jegyek általában -tól -ig terjednek. Az előjeles számjegyes számábrázolás kiegyensúlyozott, ha . Ha az alap páratlan, akkor az utolsó jegyek levágása éppen a kerekítés.

Ismert példa a kiegyensúlyozott hármas számrendszer, ami a 0, 1, -1 jegyeket használja. A normál hármas és kilences számrendszerekhez hasonló a kiegyensúlyozott hármas és kilences számrendszer kapcsolata, azaz egyszerű átváltani a kettő között. A kiegyensúlyozott tízes számrendszerben a jegyek −5-től +4-ig terjednek; a kiegyensúlyozott kilences számrendszerbeli számok hosszúsága a tízes számrendszeréhez hasonló.

További nevezetes példák a 0, 1, -1 jegyeket használó kettes számrendszer számábrázolásainak egyértelművé tételei az egész számok körében.

Nem egyértelmű reprezentációk

Az előjeles számjegyeket használó reprezentáció nem mindig egyértelmű. Például:

(0 1 1 1)2 = 4 + 2 + 1 = 7
(1 0 −1 1)2 = 8 − 2 + 1 = 7
(1 −1 1 1)2 = 8 − 4 + 2 + 1 = 7
(1 0 0 −1)2 = 8 − 1 = 7

Ha viszont kikötjük, hogy csak azokkal az alakokkal foglalkozunk, amelyekben minden nem nulla számjegyet elválaszt legalább egy nulla, akkor újra egyértelművé válik a számábrázolás. Angol nevéből rövidítve a NAF jelöli a továbbiakban.

A nem előjeles számrendszerekhez hasonlóan a kiegyensúlyozott számrendszerek és a fenti típusú kettes számrendszer egyértelműsége is elvész, ha kiterjesztjük a nem egész számokra:

(0 , (1 0) …)NAF = = (1 , (0 −1) …)NAF

Továbbá:

(0 , 4 4 4 …)(10bal) = = (1 , -5 -5 -5 …)(10bal)

A hasonló példák létezése belátható, ha megfigyeljük a lehetséges legnagyobb és legkisebb jegyeket használó reprezentációkat, és átszámítva látjuk, hogy értékük megegyezik.

A nyelvekben

A latin nyelv a 10 fölötti számoknál a kerek tízesekből visszafelé számol:

  • septemdecim XVII (17)
  • duodeviginti XVIII (18)
  • undeviginti XVIIII, vagy XIX (19)
  • viginti XX (20)
  • unus et viginti XXI (21)
  • duo et viginti XXII (22)
  • ...
  • duodetriginti XXVIII (28)
  • undetriginti XXVIIII, vagy XXIX (29)
  • triginti XXX (30)
  • unus et triginti XXXI (31)
  • duo et triginti XXXII (32)
  • ...

A pandzsábi nyelv hasonló rendszert használ:

  • 19 unni, 20 vih, 21 ikki
  • 29 unatti, 30 tih, 31 ikatti
  • 39 untali, 40 chali, 41 iktali
  • 49 unanja, 50 panjah, 51 ikvanja
  • 59 unahat, 60 sath, 61 ikahat
  • 69 unattar, 70 sattar, 71 ikhattar
  • 79 unasi, 80 assi, 81 ikiasi
  • 89 unanve, 90 nabbe, 91 ikinnaven.

1928-ban Florian Cajori is elkezdett foglalkozni qaz előjeles számjegyekkel Colson (1726) és Cauchy (1840) nyomán. A History of Mathematical Notations című könyvében Cajori külön szakaszt szentelt a negatív számoknak.[2] Eduard Selling[3] az 1, 2, 3, 4, és 5 számjegyek megfordítását javasolta a negatív jegyek jelölésére, továbbá szóbeli megnevezést is javasolt hozzájuk: snie, jes, jerd, reff, és niff. Azonban a legtöbb korai szerzőhöz hasonlóan felülvonást használt. Colson[4] példákkal is bemutatta az összeadást (pp 163,4), a szorzást (pp 165,6) és az osztó többszöröseit tartalmazó segédtáblázattal az osztást (pp 170,1). A csonkításos kerekítés kényelmét is kifejtette. Colson egy segédeszközt is tervezett, amivel előjeles jegyekkel lehetett számolni.

Jegyzetek

  1. ↑ Dhananjay Phatak, I. Koren, Hybrid Signed-Digit Number Systems: A Unified Framework for Redundant Number Representations with Bounded Carry Propagation Chains, 1994, Archiválva 2007. október 17-i dátummal a Wayback Machine-ben
  2. ↑ Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. Dover Publications, 57. o. (1993). ISBN 0486677664 
  3. ↑ Eduard Selling (1887) Eine neue Rechenmachine, pp. 15–18, Berlin
  4. ↑ John Colson (1726) "A Short Account of Negativo-Affirmativo Arithmetik", Philosophical Transactions of the Royal Society 34:161–73. Available as Early Journal Content from JSTOR

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Signed-digit representation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

További információk