Differenciálszámítás

Egyváltozós függvényrajz (feketével), és ennek érintője (vörössel) a piros körrel jelzett pontban. Az érintő meredeksége megegyezik az adott pontban számított deriválttal. A képen az érintő lejt, így az itteni derivált egy negatív szám

A differenciálszámítás a matematikai analízis egyik legfontosabb módszere. Azt vizsgálja, hogy a (valós vagy komplex értékű) függvények hogyan változnak néhány (esetleg az összes, de legalább egy) független változó változására. Ennek jellemzésére a differenciálszámítás elsődleges fontosságú fogalma, a derivált szolgál.

Egyváltozós valós-valós függvénynél (valós számokhoz valós számokat rendelünk, síkban többnyire ábrázolható) a pontbéli derivált egyenlő az adott pontban húzott érintő meredekségével (kivétel ez alól az inflexiós pont). Általánosságban egy függvény deriváltja megmutatja az adott függvény tárgyalt pontjában való legjobb lineáris közelítését.

A derivált megkeresésének folyamatát nevezzük differenciálásnak. Bizonyítható, hogy a differenciálás az integrálás inverz művelete.

A differenciálszámítást a természettudományok túlnyomó részében használjuk. Például a fizikában egy testre vonatkozó helyvektor időfüggvényének idő szerinti első deriváltja a sebesség. Newton második mozgási törvénye értelmében egy adott testre ható erővektorok algebrai összegének időfüggvénye egyenlő a testre vonatkozó impulzusvektor időfüggvényének idő szerinti első deriváltjával. A kémiában a reakcióidőket, az operációkutatásban a gazdaságosságokat, a játékelméletben megfelelő stratégiákat lehet meghatározni vele stb.

A deriváltakat gyakran függvények extrémumainak meghatározására is alkalmazzuk. Függvényegyenletek is tartalmazhatnak deriváltakat, ezeket differenciálegyenleteknek nevezzük. Sok jelenségét le tudunk írni a differenciálszámítás alkalmazásával, általában azokat, melyek folytonos mozgással vagy változásokkal modellezhetőek.

A deriválási tételek, szabályok, tulajdonságok és ezek általánosításai megjelennek még a komplex analízisben, a függvényanalízisben, a differenciálgeometriában, az absztrakt algebrában is, illetve mind az elméleti, mind az alkalmazott természettudományok további területein.

A derivált

Az alábbiakban csakis kizárólag egyváltozós, valós explicit függvények differenciálásával fogunk foglalkozni.

Legyen x és y valós szám, és y legyen x függvénye, tehát y = f(x). Az egyik legegyszerűbb függvény a lineáris függvény. Ennek képe egy egyenes. Ekkor y = f(x) = m x + c, ahol m és c valós számok. Itt m határozza meg f(x) meredekségét, c pedig azt, hogy f(x) hol metszi az y tengelyt (leggyakrabban ezt vertikális tengelyként ábrázoljuk). Könnyen belátható, hogy m = v a ´ l t o z a ´ s y v a ´ l t o z a ´ s x = Δ y Δ x {\displaystyle \scriptstyle m={\frac {\mathrm {v{\acute {a}}ltoz{\acute {a}}s} ~y}{\mathrm {v{\acute {a}}ltoz{\acute {a}}s} ~x}}={\Delta y \over {\Delta x}}\,} $\scriptstyle m={\frac {\mathrm {v{\acute {a}}ltoz{\acute {a}}s} ~y}{\mathrm {v{\acute {a}}ltoz{\acute {a}}s} ~x}}={\Delta y \over {\Delta x}}\,$ . A Δ a görög delta betű, jelentése itt: "változás". Mivel y + Δy = f(x+ Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx, ebből következik, hogy Δy = m Δx.

Bár ez csak lineáris függvényekre igaz, folytonos f függvényt közelíthetünk lineáris függvénnyel.

Elemi függvények deriváltjai

Tételezzük fel, hogy f(x) függvény az értelmezési tartomány egészén folytonos, tehát nincs szakadása, továbbá differenciálható.

Alapfüggvény típusa	Általános jelölése	(elsőrendű) Deriváltja
Konstans függvény	f ( x ) = c ( c ∈ R ) {\displaystyle f(x)=c\quad (c\in R)} $f(x)=c\quad (c\in R)$	f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0\,} $f'(x)=0\,$
Lineáris függvény	f ( x ) = c x {\displaystyle f(x)=cx\,} $f(x)=cx\,$	f ′ ( x ) = c {\displaystyle f'(x)=c\,} $f'(x)=c\,$
Hatványfüggvény	f ( x ) = c x n {\displaystyle f(x)=cx^{n}\,} $f(x)=cx^{n}\,$	f ′ ( x ) = c n ⋅ x n − 1 {\displaystyle f'(x)=cn\cdot x^{n-1}} $f'(x)=cn\cdot x^{n-1}$
Szinusz trig.m.fv.	f ( x ) = sin ⁡ x {\displaystyle f(x)=\sin x\,} $f(x)=\sin x\,$	f ′ ( x ) = sin ⁡ ( π 2 + k 2 π ) = cos ⁡ x {\displaystyle f'(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+k2\pi \right)=\cos x} $f'(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+k2\pi \right)=\cos x$
Koszinusz trig.m.fv.	f ( x ) = cos ⁡ x {\displaystyle f(x)=\cos x\,} $f(x)=\cos x\,$	f ′ ( x ) = sin ⁡ ( π + k 2 π ) = − sin ⁡ ( x ) {\displaystyle f'(x)=\sin(\pi +k2\pi )=-\sin(x)\,} $f'(x)=\sin(\pi +k2\pi )=-\sin(x)\,$
Exponenciális függvény	f ( x ) = c x {\displaystyle f(x)=c^{x}\,} $f(x)=c^{x}\,$	f ′ ( x ) = c x ⋅ ln ⁡ c {\displaystyle f'(x)=c^{x}\cdot \ln c} $f'(x)=c^{x}\cdot \ln c$
Logaritmus függvény	f ( x ) = log c ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ c {\displaystyle f(x)=\log _{c}x={\frac {\ln x}{\ln c}}} $f(x)=\log _{c}x={\frac {\ln x}{\ln c}}$	f ′ ( x ) = 1 x ⋅ ln ⁡ c {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x\cdot \ln c}}} $f'(x)={\frac {1}{x\cdot \ln c}}$

Inverz- és egyéb további függvények deriváltjairól a Derivált szócikkben olvashatsz.

Differenciálási szabályok

Vannak olyan összetett függvények, melyek nem lettek külön megemlítve az elemi függvények deriváltfüggvényei között. Ezek például a két függvény hányadosából előállított függvények. Összetett függvények differenciálásához szükségesek a következő szabályok:

′ = f ′ ( x ) ± g ′ ( x ) {\displaystyle \left'=f'(x)\pm g'(x)} $\left'=f'(x)\pm g'(x)$

miszerint, két függvény összegének deriváltján az egyik függvény deriváltjának, valamint a másik függvény deriváltjának összegét értjük.

′ = c ⋅ f ′ ( x ) {\displaystyle \left'=c\!\cdot \!f'(x)} $\left'=c\!\cdot \!f'(x)$

tehát, bármely függvény "szorzó-konstansa" kivihető a deriváltjel alól (melyek az integrálási azonosságokhoz hasonlóan adódnak).

′ = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) {\displaystyle \left'=f'(x)\!\cdot \!g(x)\;+\;f(x)\!\cdot \!g'(x)} $\left'=f'(x)\!\cdot \!g(x)\;+\;f(x)\!\cdot \!g'(x)$

vagyis, azt mondhatjuk, hogy két függvény szorzatának deriváltja az egyik függvény deriváltjának és a másik függvény szorzatának, valamint az egyik függvény és a másik függvény deriváltjának szorzatának összegével egyenlő.

′ = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) g 2 ( x ) {\displaystyle \left'={\frac {f'(x)\!\cdot \!g(x)\;-\;f(x)\!\cdot \!g'(x)}{g^{2}(x)}}} $\left'={\frac {f'(x)\!\cdot \!g(x)\;-\;f(x)\!\cdot \!g'(x)}{g^{2}(x)}}$

avagy, két függvény hányadosának deriváltján (a két függvény szorzatának deriváltjából kiindulva) az egyik függvény deriváltjának és a másik függvény szorzatának, valamint az egyik függvény és a másik függvény deriváltjának szorzatának különbségének és a második függvény négyzetének hányadosával egyenlő.

′ = ′ = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) {\displaystyle \left'=\left'=f'(g(x))\!\cdot \!g'(x)} $\left'=\left'=f'(g(x))\!\cdot \!g'(x)$ (láncszabály)

azaz, két függvény kompozíciójának deriváltja az első függvény deriváltjának a második függvény értékén, és a második függvény deriváltjának szorzatával egyenlő.

1. példa: a tangensfüggvény deriválása - A részletezés jobbra nyitható!

Határozzuk meg az f ( x ) = tan ⁡ x {\displaystyle \scriptstyle f(x)=\tan x} $\scriptstyle f(x)=\tan x$ trigonometrikus szögfüggvény deriváltfüggvényét!

A tangens trigonometrikus függvény összetett függvény, mivel a szinusz- és a koszinuszfüggvények hányadosából áll elő. Ezen ismeret felhasználásával állapítsuk meg f ′ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f'(x)} $\scriptstyle f'(x)$ -et!

f ( x ) = tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x {\displaystyle f(x)=\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}} $f(x)=\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

f ′ ( x ) = ( sin ⁡ x cos ⁡ x ) ′ = ( sin ⁡ x ) ′ cos ⁡ x − sin ⁡ x ( cos ⁡ x ) ′ cos 2 ⁡ x {\displaystyle f'(x)=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'={\frac {(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos ^{2}x}}} $f'(x)=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'={\frac {(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos ^{2}x}}$

f ′ ( x ) = cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x + 1 − cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x {\displaystyle f'(x)={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+1-\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}} $f'(x)={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+1-\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$

Ennek alapján kijelenthető, hogy:

g ( x ) = cot ⁡ x = 1 tan ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x {\displaystyle g(x)=\cot x\ ={\frac {1}{\tan x}}={\frac {\cos x}{\sin x}}} $g(x)=\cot x\ ={\frac {1}{\tan x}}={\frac {\cos x}{\sin x}}$

g ′ ( x ) = − 1 sin 2 ⁡ x {\displaystyle g'(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}} $g'(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$

A differenciálszámítás gyakorlati alkalmazása

Analízis

Legyen adott az f ( x ) = x 3 + 8 x 2 + 16 x {\displaystyle \scriptstyle f(x)=x^{3}+8x^{2}+16x} $\scriptstyle f(x)=x^{3}+8x^{2}+16x$ harmadfokú függvény. Elemezzük ezt a függvényt az alábbi szempontok alapján:

Függvénytípus meghatározása (a függvénycsalád definiálása)
Értelmezési tartomány
Értékkészlet
Zérushely(ek)
Határérték
Szélsőértékek (extrémumok)
Monotonitás
Inflexiós pont(ok)
Konvexitás
Sajátos függvényvonások: paritás (és szimmetria), aszimptoták.

Függvénytípus: Egyváltozós explicit, algebrai és harmadfokú függvény.

Értelmezési tartomány:

D f : ∀ x ∈ R {\displaystyle \scriptstyle D_{f}:\forall x\in \mathbb {R} } $\scriptstyle D_{f}:\forall x\in \mathbb {R}$

Értékkészlet:

R f : ∀ y ∈ R {\displaystyle \scriptstyle R_{f}:\forall y\in \mathbb {R} } $\scriptstyle R_{f}:\forall y\in \mathbb {R}$

Zérushely(ek):

A zérushelyek megállapításához meg kell oldanunk a következő harmadfokú egyenletet:

x 3 + 8 x 2 + 16 x = 0 {\displaystyle \scriptstyle x^{3}+8x^{2}+16x=0} $\scriptstyle x^{3}+8x^{2}+16x=0$

x ( x 2 + 8 x + 16 ) = 0 {\displaystyle \scriptstyle x(x^{2}+8x+16)=0} $\scriptstyle x(x^{2}+8x+16)=0$ (kiemeltünk 'x'-et)

Ebből a megoldások: x 1 = 0 {\displaystyle \scriptstyle x_{1}=0} $\scriptstyle x_{1}=0$ és x 2 = − 4 {\displaystyle \scriptstyle x_{2}=-4} $\scriptstyle x_{2}=-4$

Határérték(ek):

lim x → + ∞ x 3 + 8 x 2 + 16 x = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }x^{3}+8x^{2}+16x=+\infty } $\lim _{x\rightarrow +\infty }x^{3}+8x^{2}+16x=+\infty$

lim x → − ∞ x 3 + 8 x 2 + 16 x = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }x^{3}+8x^{2}+16x=-\infty } $\lim _{x\rightarrow -\infty }x^{3}+8x^{2}+16x=-\infty$

(tehát a függvénynek az értelmezési tartomány egészén nincs határértéke /az x ∈ R {\displaystyle \scriptstyle x\in \mathbb {R} } $\scriptstyle x\in \mathbb {R}$ intervallumon/.)

Extrémumok (lokális szélsőértékek):

Bármely függvény (lehetséges!) szélsőértékeinek helyét a függvény első deriváltjának zérushelye(i) adja:

f ′ ( x ) = 3 x 2 + 16 x + 16 {\displaystyle \scriptstyle f'(x)=3x^{2}+16x+16} $\scriptstyle f'(x)=3x^{2}+16x+16$

3 x 2 + 16 x + 16 = 0 {\displaystyle \scriptstyle 3x^{2}+16x+16=0} $\scriptstyle 3x^{2}+16x+16=0$

x 1 = − 1 1 3 {\displaystyle \scriptstyle x_{1}=-1{\frac {1}{3}}} $\scriptstyle x_{1}=-1{\frac {1}{3}}$

x 2 = − 4 {\displaystyle \scriptstyle x_{2}=-4} $\scriptstyle x_{2}=-4$

Hogy melyik x lesz a minimum és maximum hely, azt az f(x)-be történő behelyettesítés után kapott érték után tudjuk egyértelműen eldönteni (a kapott x-eket helyettesítsük be f(x)-be!):

f ( x ) = x 3 + 8 x 2 + 16 x {\displaystyle \scriptstyle f(x)=x^{3}+8x^{2}+16x} $\scriptstyle f(x)=x^{3}+8x^{2}+16x$

x 1 = − 1 1 3 {\displaystyle \scriptstyle x_{1}=-1{\frac {1}{3}}} $\scriptstyle x_{1}=-1{\frac {1}{3}}$

f ( x 1 = − 1 1 3 ) = ( − 1 1 3 ) 3 + 8 ⋅ ( − 1 1 3 ) 2 + 16 ⋅ ( − 1 1 3 ) = − 256 / 27 ≈ − 9 , 4815 {\displaystyle \scriptstyle f(x_{1}=-1{\frac {1}{3}})=\left(-1{\frac {1}{3}}\right)^{3}+8\cdot \left(-1{\frac {1}{3}}\right)^{2}+16\cdot \left(-1{\frac {1}{3}}\right)=-256/27\approx -9,4815} $\scriptstyle f(x_{1}=-1{\frac {1}{3}})=\left(-1{\frac {1}{3}}\right)^{3}+8\cdot \left(-1{\frac {1}{3}}\right)^{2}+16\cdot \left(-1{\frac {1}{3}}\right)=-256/27\approx -9,4815$

f ( x ) = x 3 + 8 x 2 + 16 x {\displaystyle \scriptstyle f(x)=x^{3}+8x^{2}+16x} $\scriptstyle f(x)=x^{3}+8x^{2}+16x$

x 2 = − 4 {\displaystyle \scriptstyle x_{2}=-4} $\scriptstyle x_{2}=-4$

f ( x 2 = − 4 ) = ( − 4 ) 3 + 8 ⋅ ( − 4 ) 2 + 16 ⋅ ( − 4 ) = 0 {\displaystyle \scriptstyle f(x_{2}=-4)=(-4)^{3}+8\cdot (-4)^{2}+16\cdot (-4)=0} $\scriptstyle f(x_{2}=-4)=(-4)^{3}+8\cdot (-4)^{2}+16\cdot (-4)=0$

Tehát: f ( x 2 ) > f ( x 1 ) {\displaystyle \scriptstyle f(x_{2})>f(x_{1})} $\scriptstyle f(x_{2})>f(x_{1})$

Így: x max = − 4 ; x min = − 1 1 3 {\displaystyle \scriptstyle x_{\max }=-4;x_{\min }=-1{\frac {1}{3}}} $\scriptstyle x_{\max }=-4;x_{\min }=-1{\frac {1}{3}}$ .

Ha az első derivált 0, még mindig elképzelhető, hogy a függvénynek azon a helyen nincs sem lokális minimuna, sem lokális maximuma, például a g ( x ) = x 3 {\displaystyle \scriptstyle g(x)=x^{3}} $\scriptstyle g(x)=x^{3}$ függvény deriváltja a 0 helyen: d d x x 3 | x = 0 = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{3}{\Bigg |}_{x=0}=0} ${\frac {d}{dx}}x^{3}{\Bigg |}_{x=0}=0$ , pedig nincs szélsőérték.

Monotonitás:

A monotonitás meghatározásához többféle kalkulus módszert és/vagy tételt alkalmazhatunk, mi azonban használjuk fel azt, hogy az extrémumok meghatározása után vagyunk és tudunk következtetést mondani a függvény egyszerűsége miatt a függvény monotonitására. A páratlan kitevős algebrai függvény grafikonja és a lokális szélsőértékek miatt:

f(x) függvény extrémumai (x):

x max = − 4 {\displaystyle \scriptstyle x_{\max }=-4} $\scriptstyle x_{\max }=-4$ és x min = − 1 1 3 {\displaystyle \scriptstyle x_{\min }=-1{\frac {1}{3}}} $\scriptstyle x_{\min }=-1{\frac {1}{3}}$ , tehát tekintsük ezen pontok halmazait monotonitás szempontjából: