Theorema egregium

Megjelenés áthelyezés az oldalsávba elrejtés

A Theorema Egregium (magyarul: „Nevezetes Tétel”) a differenciálgeometria fontos tétele, amely kimondja, hogy egy felület Gauss-görbülete csak a felület első alapmennyiségeitől függ. Más szavakkal: a felület Gauss-görbületét meghatározza a felület metrikája (azaz, hogy a felületen hogyan mérünk szöget illetve távolságot), és ez független a felület térbeli alakjától (amit a második alapmennyiségek írnak le). Ez messze nem nyilvánvaló, hiszen a felület főnormálgörbületei függenek a második alapmennyiségektől. Mivel az első alapmennyiségek izometriával szemben invariánsak, ezért a tétel értelmében a Gauss-görbület is.

Bizonyítás

A Theorema Egregiumot először Carl Friedrich Gauss bizonyította. Az alább közölt bizonyítás Szőkefalvi-Nagy Gyula könyvében található. Legyen a felület paraméterezése r ( u , v ) {\displaystyle \mathbf {r} (u,v)} . Ekkor a szokásos jelölésekkel a felület Gauss-görbülete:

K = l n − m 2 E G − F 2 {\displaystyle {\mathcal {K}}={\frac {ln-m^{2}}{EG-F^{2}}}}

.

Ezek szerint elég lenne belátnunk, hogy az l n − m 2 {\displaystyle ln-m^{2}} mennyiség kifejezhető az E , F , G {\displaystyle E,F,G} függvényekkel és azok parciális deriváltjaival.

A Gauss-féle egyenletek szerint:

r u u ″ = Γ 11 1 r u ′ + Γ 11 2 r v ′ + l N {\displaystyle \mathbf {r} ''_{uu}=\Gamma _{11}^{1}\mathbf {r} '_{u}+\Gamma _{11}^{2}\mathbf {r} '_{v}+l\mathbf {N} }

  {\displaystyle ~}

r u v ″ = r v u ″ = Γ 12 1 r u ′ + Γ 12 2 r v ′ + m N {\displaystyle \mathbf {r} ''_{uv}=\mathbf {r} ''_{vu}=\Gamma _{12}^{1}\mathbf {r} '_{u}+\Gamma _{12}^{2}\mathbf {r} '_{v}+m\mathbf {N} }

  {\displaystyle ~}

r v v ″ = Γ 22 1 r u ′ + Γ 22 2 r v ′ + n N , {\displaystyle \mathbf {r} ''_{vv}=\Gamma _{22}^{1}\mathbf {r} '_{u}+\Gamma _{22}^{2}\mathbf {r} '_{v}+n\mathbf {N} ,}

ahol a Γ j k i {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}} együtthatók a Christoffel-szimbólumok, N {\displaystyle \mathbf {N} } pedig a felület normálvektora.

Ebből

r u u ″ r v v ″ − ( r u v ″ ) 2 = l n − m 2 + R 1 , {\displaystyle \mathbf {r} ''_{uu}\mathbf {r} ''_{vv}-(\mathbf {r} ''_{uv})^{2}=ln-m^{2}+{\mathcal {R}}_{1},}

ahol R 1 {\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}} csak az első alapmennyiségektől és azok parciális deriváltjaitól függ, hiszen a Christoffel-szimbólumok is csak ezektől függenek. Most fejezzük ki az r u u ″ r v v ″ − ( r u v ″ ) 2 {\displaystyle \mathbf {r} ''_{uu}\mathbf {r} ''_{vv}-(\mathbf {r} ''_{uv})^{2}} mennyiséget E , F , G {\displaystyle E,F,G} parciális deriváltjaival. Az első alapmennyiségeket definiáló egyenleteket deriválva kapjuk:

E v v ″ = 2 r u v v ‴ r u ′ + 2 ( r u v ″ ) 2 {\displaystyle E''_{vv}=2\mathbf {r} '''_{uvv}\mathbf {r} '_{u}+2(\mathbf {r} ''_{uv})^{2}}

  {\displaystyle ~}

F u v ″ = r u u v ‴ r v ′ + r u u ″ r v v ″ + r u ′ r u v v ‴ + ( r u v ″ ) 2 {\displaystyle F''_{uv}=\mathbf {r} '''_{uuv}\mathbf {r} '_{v}+\mathbf {r} ''_{uu}\mathbf {r} ''_{vv}+\mathbf {r} '_{u}\mathbf {r} '''_{uvv}+(\mathbf {r} ''_{uv})^{2}}

  {\displaystyle ~}

G u u ″ = 2 r u u v ‴ r v ′ + 2 ( r u v ″ ) 2 {\displaystyle G''_{uu}=2\mathbf {r} '''_{uuv}\mathbf {r} '_{v}+2(\mathbf {r} ''_{uv})^{2}}

Ebből

r u u ″ r v v − ( r u v ) 2 = F u v ″ − 1 2 ( E v v ″ − G u u ″ ) =: R 2 {\displaystyle \mathbf {r} ''_{uu}\mathbf {r} _{vv}-(\mathbf {r} _{uv})^{2}=F''_{uv}-{\frac {1}{2}}(E''_{vv}-G''_{uu})=:{\mathcal {R}}_{2}}

Ezt összevetve az előbbi eredményünkkel, kapjuk, hogy

l n − m 2 = R 2 − R 1 {\displaystyle ln-m^{2}={\mathcal {R}}_{2}-{\mathcal {R}}_{1}}

Mivel R 1 {\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}} és R 2 {\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}} csak az első alapmennyiségektől és azok parciális deriváltjaitól függ, ezért l n − m 2 {\displaystyle ln-m^{2}} is. Ezt akartuk belátni.

Egyszerű alkalmazások

Egy R sugarú gömbfelület és egy sík Gauss-görbülete is állandó, R − 2 {\displaystyle R^{-2}} illetve 0 {\displaystyle 0} . Így a tétel szerint a két felület nem képezhető izometrikusan (torzításmentesen) egymásra. Ennek nyilvánvaló a térképészeti jelentősége: nem lehet torzításmentes térképet készíteni.

Fordítás

Források