Többváltozós eloszlásfüggvény

Egy többváltozós eloszlásfüggvény a valószínűségszámításban egy valós értékű függvény, melyet többdimenziós valószínűségeloszlások, azaz valószínűségi vektorváltozók eloszlásának vizsgálatára használnak. Az eloszlásfüggvény magasabb dimenziós megfelelője; az egyváltozós esethez hasonlóan egyértelműen jellemzi a valószínűségi vektorváltozókat a korrespondenciatétel szerint. Ezáltal a magasabb dimenziós valószínűségeloszlások is vizsgálhatók mértékelméleti eszközökkel.

Használják még a következő elnevezéseket: n-dimenziós eloszlásfüggvény,^[1] eloszlás ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-en, vagy a mértékelméleti értelemben vett többváltozós eloszlásfüggvénytől való megkülönböztetésre szűkebb értelemben vett többváltozós eloszlásfüggvény.^[2]

Az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-beli ${\displaystyle x,y}$ vektorok esetén az összehasonlítást koordinátánként végezzük, azaz

${\displaystyle x\leq y}$ akkor és csak akkor, ha ${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$ minden ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$ indexre.

A továbbiakban ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ esetén

${\displaystyle (-\infty ,x]:=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,y\leq x\}}$

illetve koordinátánként

${\displaystyle (-\infty ,x]=(-\infty ,x_{1}]\times (-\infty ,x_{2}]\times \dots \times (-\infty ,x_{n}]}$

A fenti jelölésekkel a definíció hasonlóvá válik az egydimenziós esethez. Ha ${\displaystyle P}$ valószínűségeloszlás egy ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}$ valószínűségi mezőn, azaz többdimenziós valószínűségeloszlás, akkor ${\displaystyle P}$ eloszlásfüggvénye egy ${\displaystyle F_{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\to }$ függvény,

${\displaystyle F_{P}(x):=P((-\infty ,x])}$.

Ha ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ dimenziós valószínűségi változó, vagyis ${\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to }$, és definíciója

${\displaystyle F_{X}(x):=P(X<x)}$.

Ekkor ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle X}$ (többdimenziós) eloszlásfüggvénye.

A definíció koordinátánként:

${\displaystyle F_{X}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}):=P(X_{1}<x_{1},X_{2}<x_{2},\dots ,X_{n}<x_{n})}$,

ahol ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})^{T}}$. Így a valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvénye a koordinták közös eloszlásfüggvénye.

Minden ${\displaystyle F=F_{P}}$ esetén teljesül:

• Minden változóban balról folytonos.
• Téglamonoton, azaz ha ${\displaystyle a\leq b}$, akkor ${\displaystyle \Delta _{a}^{b}F\geq 0}$
• Határértékek:

${\displaystyle \lim _{\min _{i}x_{i}\to \infty }F(x)=1}$ és

${\displaystyle \lim _{\min _{i}x_{i}\to -\infty }F(x)=0}$

A korrespondenciatétel szerint ez megfordítható; amelyik függvény ezekkel a tulajdonságokkal bír, az eloszlásfüggvény.

• David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005) 
• Norbert Kusolitsch. Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung, 2., átdolgozott és bővített, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2014) 
• Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átnézett, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011) 

Ez a szócikk részben vagy egészben a Multivariate Verteilungsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.