Szferoid

Megjelenés áthelyezés az oldalsávba elrejtés Lencseszferoid Orsószferoid

A szferoid vagy más néven forgási ellipszoid vagy kéttengelyű ellipszoid egy mértani test, amelyet akkor kapunk, ha egy ellipszist valamelyik tengelye mentén megpörgetünk. A szferoid speciális esete az ellipszoidnak, amikor az ellipszoid három tengelye közül kettő egyforma hosszúságú.

Amennyiben az ellipszist a rövidebb tengelye körül pörgetjük meg, lapos ún. lencseszferoidot kapunk. Ha viszont a hosszabbik tengelye körül forgatjuk meg az ellipszist, hosszúkás, ún. orsószferoidot kapunk.

A gömb pedig a szferoid speciális esete, amikor a megpörgetett ellipszis kör, vagy másképpen az ellipszoid mindhárom tengelye egyforma hosszú.

Matematikai alakja

Mivel az ellipszoid egyenletében szereplő három tengely közül kettő egyforma, a szferoid egyenlete is leegyszerűsödik az alábbi formára:

X 2 + Y 2 a 2 + Z 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {X^{2}+Y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Z^{2}}{b^{2}}}=1.\,\!}

ahol X,Y és Z a térbeli koordináták, a és b pedig a megpörgetett ellipszis fél kis-, illetve fél nagytengelye attól függően, hogy az ellipszist a kis- vagy a nagytengelye mentén pörgettük meg.

Térfogata

Jelölje a a nagytengelyt, és b a kistengelyt.

Ekkor az orsószferoid térfogata

V = 4 π 3 a b 2 , {\displaystyle V={\frac {4\pi }{3}}ab^{2},}

és a lencseszferoidé

V = 4 π 3 a 2 b . {\displaystyle V={\frac {4\pi }{3}}a^{2}b.}

Felszíne

Legyen ismét a a nagytengely, és b a kistengely.

Ekkor az orsószferoid felszíne

A = 2 π b ( b + a 2 a 2 − b 2 arcsin ⁡ ( a 2 − b 2 a ) ) {\displaystyle A=2\pi b\left(b+{\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\,\operatorname {arcsin} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\right)} ,

és a lencseszferoidé

A = 2 π a ( a + b 2 a 2 − b 2 arsh ⁡ ( a 2 − b 2 b ) ) {\displaystyle A=2\pi a\left(a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\,\operatorname {arsh} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}\right)\right)} .

Gyakorlati jelentősége

A forgási orsószferoid kézenfekvő példái a boroshordók - ha egy ilyen szferoidot végeinél szimmetrikusan, a forgástengelyre merőlegesen csonkolunk, hordó alakot kapunk.

A szferoidnak a geometriai fontosságán túlmenően szerepe van a Föld, illetve más, gyorsan forgó égitestek alakjának (például Jupiter, Szaturnusz) meghatározásában.

Tekintve, hogy kis eltérések azért vannak a Föld tényleges alakja és bármely erre illeszkedő szferoid között, geodéziai feladat az adott területre vagy problématípusra kiszámolni a legjobban illeszkedő szferoidot. A Föld esetében a Föld matematikai alakját, a geoidot globálisan igen jól lehet közelíteni egy szferoiddal, az eltérés a legjobban illeszkedő szferoid és a geoid között nem haladja meg a 150 métert. (Az eltérést magát geoidundulációnak nevezzük.)

A térképészetben azonban nemcsak globálisan illeszkedő szferoidokat használnak, hanem a térképezendő területre még jobban illeszkedő, a globálistól eltérő paraméterekkel és térbeli elhelyezéssel bíró forgási ellipszoidokat.

Ennek megfelelően az egyes országok különféle szferoidokat használnak térképi/geodéziai alapnak. Magyarország a múlt századi háromszögelési hálózatai alapjául a Bessel-féle ellipszoidot, a második világháború utáni háromszögeléshez a Kraszovszkij-féle ellipszoidot alkalmazta. Az Egységes Országos Vetületi rendszer EOV létrehozásakor alapfelületként a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió 1967. évi Geodéziai Vonatkozási Rendszerét (Geodetic Reference System), az IUGG GRS 1967 ellipszoidot választották alapnak. A GPS (Global Positioning System) a geocentrikus WGS 84 (WGS: World Geodetic System) ellipszoidot használja.

A felszínformulák levezetése

Legyen x 2 a 2 + y 2 b 2 − 1 = 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-1=0} az a nagytengelyű és b kistengelyű ellipszoid egyenlete.

Orsószferoid

Az első Guldin-szabállyal

A = 2 π ∫ − a a f ( x ) 1 + 2 d x {\displaystyle A=2\pi \int _{-a}^{a}f(x){\sqrt {1+\left^{2}}}\mathrm {d} x}

Ez annak a forgástestnek a felszíne, ami az ellipszis x tengely körüli forgatásával keletkezik. Itt a generátorgörbe egyenlete f ( x ) = b a a 2 − x 2 {\displaystyle f(x)={\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}} , ami az ellipszoid egyenletét y-ra megoldva adódik.

Továbbá szükség van a jobb oldal x szerinti deriváltjára:

∫ q − p x 2 d x = x 2 q − p x 2 + q 2 p arcsin ⁡ ( p q x ) . {\displaystyle \int {\sqrt {q-px^{2}}}\mathrm {d} x={\frac {x}{2}}{\sqrt {q-px^{2}}}+{\frac {q}{2{\sqrt {p}}}}\arcsin \left({\frac {\sqrt {p}}{\sqrt {q}}}x\right).}

Behelyettesítve

A = 2 π ∫ − a a b a a 2 − x 2 1 + b 2 x 2 a 2 ( a 2 − x 2 ) d x = 4 π b a 2 ∫ 0 a a 4 − ( a 2 − b 2 ) x 2 d x . {\displaystyle A=2\pi \int _{-a}^{a}{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+{\frac {b^{2}x^{2}}{a^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right)}}}}\mathrm {d} x={\frac {4\pi b}{a^{2}}}\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{4}-\left(a^{2}-b^{2}\right)x^{2}}}\mathrm {d} x.}

Itt kihasználtuk az x tengely körüli forgásszimmetriát.

Az integrál határainak figyelembevételével

A = 4 π b a 2 ( a 2 a 4 − ( a 2 − b 2 ) a 2 + a 4 2 a 2 − b 2 arcsin ⁡ ( a 2 − b 2 a 4 a ) ) , {\displaystyle A={\frac {4\pi b}{a^{2}}}\left({\frac {a}{2}}{\sqrt {a^{4}-\left(a^{2}-b^{2}\right)a^{2}}}+{\frac {a^{4}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\arcsin \left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {a^{4}}}}a\right)\right),}

Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet.

Lencseszferoid

A számítások az előzőekhez hasonlók.

Most az ellipszist az y tengely körül forgatjuk meg.

Ismét az első Guldin-szabályt használjuk:

A = 2 π ∫ min ( f ( x l ) , f ( x r ) ) max ( f ( x l ) , f ( x r ) ) f − 1 ( y ) 1 + 2 d y {\displaystyle A=2\pi \int _{\min(f(x_{l}),f(x_{r}))}^{\max(f(x_{l}),f(x_{r}))}f^{-1}(y){\sqrt {1+\left^{2}}}\mathrm {d} y}

Az ellipszis egyenletét x-re megoldva

f − 1 ( y ) = a b b 2 − y 2 {\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {a}{b}}{\sqrt {b^{2}-y^{2}}}}

és behelyettesítve az f ( 0 ) = b {\displaystyle f(0)=b} és f ( a ) = 0 {\displaystyle f(a)=0} értékeket kapjuk a következőt:

A = 4 π ∫ 0 b a b b 2 − y 2 1 + a 2 y 2 b 2 ( b 2 − y 2 ) d y = 4 π a b 2 ∫ 0 b b 4 + ( a 2 − b 2 ) y 2 d y . {\displaystyle A=4\pi \int _{0}^{b}{\frac {a}{b}}{\sqrt {b^{2}-y^{2}}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}y^{2}}{b^{2}\left(b^{2}-y^{2}\right)}}}}\mathrm {d} y={\frac {4\pi a}{b^{2}}}\int _{0}^{b}{\sqrt {b^{4}+\left(a^{2}-b^{2}\right)y^{2}}}\mathrm {d} y.}

ahol újra kihasználtuk az ellipszoid forgásszimmetriáját.

További helyettesítésekkel és átalakításokkal adódik

A = 4 π a b 2 ( b 2 b 4 + ( a 2 − b 2 ) b 2 + b 4 2 a 2 − b 2 arsh ⁡ ( a 2 − b 2 b 4 b ) ) . {\displaystyle A={\frac {4\pi a}{b^{2}}}\left({\frac {b}{2}}{\sqrt {b^{4}+\left(a^{2}-b^{2}\right)b^{2}}}+{\frac {b^{4}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\operatorname {arsh} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {b^{4}}}}b\right)\right).}

amit egyszerűsítve kapjuk a fenti képletet.

Lásd még