Környezet (matematika)

A „Környezet” lehetséges további jelentéseiről lásd: Környezet (egyértelműsítő lap).

A topológiában és a matematika más részein a környezet egy alapvető fogalom. Intuitív módon úgy lehet leírni, hogy egy pont környezete egy olyan halmaz, ami tartalmazza magát a pontot úgy, hogy „van még hely”, vagyis hogy a pont „mozgatható” ezen a környezeten (halmazon) belül.

Ez a fogalom szoros kapcsolatban áll a nyílt halmazokkal és a belső pontokkal.

Ha ${\displaystyle X}$ egy topologikus tér, és ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$-nek egy pontja, akkor ${\displaystyle p}$ egy környezete ${\displaystyle X}$-nek egy olyan ${\displaystyle V}$ részhalmaza, amelynek részhalmaza egy olyan ${\displaystyle U}$ nyílt halmaz, amely tartalmazza ${\displaystyle p}$-t, vagyis:

${\displaystyle p\in U\subseteq V.}$

Ez azzal ekvivalens, hogy ${\displaystyle p\in X}$, és hogy ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle V}$ egy belső pontja.

Jegyezzük meg, hogy magának a ${\displaystyle V}$ környezetnek nem kell nyílt halmaznak lennie. Ha ${\displaystyle V}$ nyílt, akkor nyílt környezetnek vagy nyitott környezetnek is nevezik. Néhányan megkövetelik, hogy a környezetek nyitottak legyenek, ezért azt, hogy egy adott esetben mit értünk pontosan környezet alatt, érdemes közölni.

Azok a halmazok amelyek az összes általuk tartalmazott pontnak a környezetei biztosan nyitottak, hiszen felírhatóak nyílt halmazok uniójaként.

Egy pont összes környezetét tartalmazó halmazt az adott pont környezet-rendszerének nevünk.

Ha ${\displaystyle S}$ az ${\displaystyle X}$ topologikus tér egy részhalmaza, akkor az ${\displaystyle S}$ környezetén egy olyan ${\displaystyle V}$ halmazt értünk, ami magában foglal egy nyílt ${\displaystyle U}$ halmazt, ami magában foglalja ${\displaystyle S}$-t. Ebből következik, hogy egy ${\displaystyle V}$ halmaz akkor és csak akkor környezete egy ${\displaystyle S}$ halmaznak, ha az környezete ${\displaystyle S}$ minden pontjának. Továbbá adott, hogy ${\displaystyle V}$ akkor és csak akkor környezete ${\displaystyle S}$-nek, ha ${\displaystyle S}$ részhalmaza ${\displaystyle V}$ összes belső pontja által alkotott halmaznak (vagyis ${\displaystyle V\setminus \partial V}$-nak, ahol ${\displaystyle \partial V}$ a ${\displaystyle V}$ határát jelöli).

Egy ${\displaystyle M=(X,d)}$ metrikus térben egy ${\displaystyle V}$ halmaz a ${\displaystyle p}$ pont környezete ha létezik egy nyitott gömb ${\displaystyle p}$ középponttal és ${\displaystyle r>0}$ sugárral úgy, hogy:

${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

részhalmaza ${\displaystyle V}$-nek (vagyis ${\displaystyle p}$ belső pontja ${\displaystyle V}$-nek).

${\displaystyle V}$-t az ${\displaystyle S}$ halmaz uniform környezetének hívják, ha létezik olyan pozitív ${\displaystyle r}$ szám, hogy bármely ${\displaystyle p\in S}$ elemre teljesül, hogy:

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

részhalmaza ${\displaystyle V}$-nek (vagyis ha ${\displaystyle r}$ megválasztása nem függ magától a ${\displaystyle p}$ elemtől, hanem csakis az ${\displaystyle S}$ és a ${\displaystyle V}$ halmazok jellegétől).

Bármely ${\displaystyle r>0}$-ra és ${\displaystyle S}$-re értelmezett egy ${\displaystyle r}$-környezet ${\displaystyle S_{r}}$, ami azon pontok halmaza, amelyek elemei ${\displaystyle X}$-nek és a távolságuk ${\displaystyle S}$ egy elemétől kisebb, mint ${\displaystyle r}$. (Vagy egy másik ekvivalens definíció alapján, ${\displaystyle S_{r}}$ az uniója az összes nyitott ${\displaystyle r}$ sugarú gömbnek, amelyek középpontja ${\displaystyle S}$ valamely pontja).

Ismert, hogy bármely ${\displaystyle r}$-környezet uniform környezet, ill., hogy egy halmaz akkor és csak akkor uniform környezet ha tartalmaz egy ${\displaystyle r}$-környezetet valamilyen ${\displaystyle r>0}$-val.

Egy lehetséges definíciója a topológiáknak az, hogy először is definiáljuk pontok környezet-rendszerét, majd ennek segítségével definiáljuk a nyílt halmazokat úgy, mint olyan halmazok, amelyek minden pontjukhoz tartalmaznak egy környezetet is.

Ezután ${\displaystyle X}$ minden környezet-rendszerének uniójához létrehozunk egy ${\displaystyle N(x)}$ halmazt minden ${\displaystyle x\in X}$-re amely ${\displaystyle X}$ részhalmazaiból áll, és amelyre igazak az alábbiak:

1. az ${\displaystyle x}$ pont eleme az összes ${\displaystyle U\in N(x)}$-nek.
2. minden ${\displaystyle U\in N(x)}$ bennfoglal egy ${\displaystyle V\in N(x)}$ halmazt, úgy hogy bármely ${\displaystyle y\in V}$-re, ${\displaystyle U\in N(y)}$.

Bizonyítható, hogy a topológia mindkét definíciója ekvivalens, vagyis hogy ekvivalens a definíció, amiben a környezet-rendszert nyitott halmazokkal definiáljuk, és az a definíció, amely a környezet-rendszer segítségével definiálja a nyitott halmazokat és a topológiát (lásd fent).

• Kelley, John L.. General topology. New York: Springer-Verlag (1975). ISBN 0-387-90125-6 
• Bredon, Glen E.. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag (1993). ISBN 0-387-97926-3 
• Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society (2001). ISBN 0-8218-2694-8