A hatványsor a valós és a komplex analízisben egy
alakú végtelen összeg, ahol tetszőleges valós vagy komplex számsorozat. Az szám a hatványsor középpontja; egy ekörüli körlapon konvergál a hatványsor. A konvergenciatartomány lehet:
- egyedül a középpont
- valósban egy véges szakasz, vagy komplexben egy véges körlap
- az egész vagy .
A hatványsort formálisan felírva, absztrakt módon is alkalmazzák például a leszámlálásokhoz.
Konvergenciasugár
Az körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit -rel jelölve a hatványsor minden -re konvergens, amire . Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergenciasugár végtelen.
A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:
Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:
hogyha a határérték létezik.
A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:
- esetén a hatványsor abszolút konvergens
- ha , akkor divergens
- hogyha , akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergenciáról
- ha pedig , akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden -re, amire .
Műveletek
Összeadás és skalárral szorzás
Ha és hatványsorok,
c komplex szám, és mindkét hatványsor konvergens egy r sugarú körben,
akkor a és hatványsorok is konvergensek r sugarú körben, és
Szorzás
Ha két hatványsor konvergens egy r sugarú körben, akkor szorzatuk is konvergens r sugarú körben, és
ahol az és a sorozatok konvolúciója.
Deriválás és integrálás
Egy hatványsor mindig differenciálható konvergenciakörének belsejében, és deriváltja tagonkénti differenciálással adódik:
A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával
Hasonlóan számítható a primitív függvény:
Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti.
Példák
- A polinomok olyan hatványsoroknak tekinthetők, melyek véges sok nem nulla együtthatós tagot tartalmaznak
- Exponenciális függvény: ,
- a konvergenciasugár végtelen
- Logaritmus, .
- A konvergenciasugár 1; -ben konvergens, -re divergens
- Négyzetgyök, ,
- a konvergenciasugár 1, és a sor -ben és -ben is konvergál
- Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort
Lásd még
Források