Görbület

Megjelenés áthelyezés az oldalsávba elrejtés

A görbület matematikai, azon belül geometriai fogalom. Szemléletesen egy sík- vagy térgörbe egyenestől való eltérését, illetve egy térbeli felületnek a síktól való eltérését jellemző számérték.

A görbék és a felületek görbületének definíciója eltérő, az utóbbi az előbbire támaszkodik.

Görbék görbülete

Görbület

Az ábrán s-sel jelölt görbén irányítást definiálunk, s ennek megfelelően értelmezzük a görbe egy-egy pontjában húzott érintő irányát: érintővektor. A görbe egy BC irányított ívéhez tartozó átlagos görbület (v.ö.: átlagsebesség) a két végponthoz tartozó érintővektorok szögének és az s = BC ívhossznak a hányadosa:

  g = Δ α Δ s {\displaystyle \ g={\frac {\Delta \alpha }{\Delta s}}}

A görbe egy pontjában értelmezett görbület e hányados határértéke, midőn az ívhossz 0-hoz tart (s → 0, azaz C → B).

  g = lim Δ α Δ s = d α d s {\displaystyle \ g=\lim {\frac {\Delta \alpha }{\Delta s}}={\frac {d\alpha }{ds}}}

Másként fogalmazva: A pontbeli görbület az érintő irányváltozásának a pályamenti sebessége, az irányszög ívhossz szerinti első deriváltja.

Görbületi sugár, simulókör floatfloat

A görbe három (nem egy egyenesbe eső) pontja mindig meghatároz egy síkot (síkgörbe esetén a befoglaló síkot) és e síkban egy kört. Az ú.n. simulókört (görbületi kört) kapjuk, ha a három pont egyetlen pontba konvergál. E kör sugara a görbe adott pontjához tartozó görbületi sugár.

r = 1   g {\displaystyle r={\frac {1}{\ g}}\,} , F → = m g → v 2 {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {g}}v^{2}} .

A görbület számítása

Ha a görbe egy analitikus függvény grafikonja és egyenlete

y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)\,} ,

alakban adott, akkor a görbület:

g = y ″ ( 1 + y ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle g={\frac {y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}}} .

Ha a síkgörbe egyenlete az alábbi parametrikus formában adott:

{ x = x ( t ) y = y ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}} g ( t ) = x ˙ y ¨ − y ˙ x ¨ ( x ˙ 2 + y ˙ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle g(t)={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})^{3/2}}}} .

Ha a görbe egyenlete r ( θ ) {\displaystyle r(\theta )\,} polárkoordinátákkal adott, görbülete:

g ( θ ) = r 2 + 2 r ′ 2 − r r ″ ( r 2 + r ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle g(\theta )={\frac {r^{2}+2r'^{2}-rr''}{\left(r^{2}+r'^{2}\right)^{3/2}}}} ,

ahol a vessző (') a θ {\displaystyle \theta \,} szerinti deriváltat jelöli.

A görbe egyenlete megadható parametrikus polárkoordinátákkal is:

{ r = r ( t ) θ = θ ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}r=r(t)\\\theta =\theta (t)\end{cases}}}

Ekkor a görbület

g = θ ˙ ( 2 r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 ) + r ( r ˙ θ ¨ − θ ˙ r ¨ ) ( r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle g={\frac {{\dot {\theta }}(2{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})+r({\dot {r}}{\ddot {\theta }}-{\dot {\theta }}{\ddot {r}})}{({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})^{3/2}}}} .

Ha a görbe egyenlete implicit alakban adott:

F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0\,} , akkor a görbület: g = | F x x ″ F x y ″ F x ′ F y x ″ F y y ″ F y ′ F x ′ F y ′ 0 | ( F x ′ 2 + F y ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle g={\frac {\begin{vmatrix}F_{xx}''&F_{xy}''&F_{x}'\\F_{yx}''&F_{yy}''&F_{y}'\\F_{x}'&F_{y}'&0\\\end{vmatrix}}{(F_{x}'^{2}+F_{y}'^{2})^{3/2}}}}

Térgörbék görbülete

Paraméteresen adott térgörbe görbülete:

g = ( z ″ y ′ − y ″ z ′ ) 2 + ( x ″ z ′ − z ″ x ′ ) 2 + ( y ″ x ′ − x ″ y ′ ) 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle g={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}

Ha a görbe r ( t ) {\displaystyle r(t)\,} helyvektorának függvényével adott, akkor a görbület:

g = | r ˙ × r ¨ | | r ˙ | 3 . {\displaystyle g={\frac {|{\dot {r}}\times {\ddot {r}}|}{|{\dot {r}}|^{3}}}.}

Felületek görbülete

A felület egy P pontjában a görbültségét (síktól való eltérését) a ponton átmenő jellegzetes felületi görbék görbületének értékével jellemezhetjük. A felületi görbület definíciójánál a P pontra illeszkedő síkmetszetek, s ezek közül csak az ú.n. normálmetszetek görbületét vesszük figyelembe.

Normálmetszet

A felület P pontbeli C normálmetszetét (felületi görbét) a felület adott pontbeli normálvektorát tartalmazó sík metszi ki. Egy ilyen normálmetszet görbülete a metszősík helyzetétől függ:

g → = 1 R {\displaystyle {\vec {g}}={\frac {1}{R}}} .

A metszősíkot a normálvektor egyenese körül elforgatva az R1 = Rmax és R2 = Rmin értékekhez tartozó C1 és C2 metszetek az adott P ponthoz tartozó főnormálmetszetek.

Euler képlete

A C1 főnormálmetszet síkjával α szöget bezáró C normálmetszet görbülete a főnormálmetszetek görbületével kifejezve:

g = g 1 c o s 2 α + g 2 s i n 2 α {\displaystyle g=g_{1}cos^{2}\alpha +g_{2}sin^{2}\alpha } ..azaz.. 1 R = c o s 2 α R 1 + s i n 2 α R 2 {\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {cos^{2}\alpha }{R_{1}}}+{\frac {sin^{2}\alpha }{R_{2}}}} .

Gauss-féle görbület

A P ponthoz tartozó két főnormálmetszet görbületi sugarával kifejezve:

G = g 1 . g 2 = 1 R 1 R 2 {\displaystyle G=g_{1}.g_{2}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}} .

Középgörbület

A P ponthoz tartozó két főnormálmetszet görbületének számtani közepe:

H = g 1 + g 2 2 = 1 2 ( 1 R 1 + 1 R 2 ) {\displaystyle H={\frac {g_{1}+g_{2}}{2}}={\frac {1}{2}}({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}})} .

Források