Fibonacci-polinomok

A következő cikkben részletesen megvizsgáljuk a Fibonacci-polinomok-et és életünkre gyakorolt ​​hatását. A Fibonacci-polinomok olyan téma, amely sok ember figyelmét felkeltette az elmúlt években, vitát és érdeklődést váltva ki számos területen és ágazatban. Ezeken az oldalakon a Fibonacci-polinomok különböző aspektusait és perspektíváit fogjuk megvizsgálni, kitérve annak történelmi jelentőségére, jelenlegi helyzetére és lehetséges jövőbeli vonatkozásaira. Reméljük, hogy ez a cikk felvilágosító és ösztönző lesz, új ötleteket és megközelítéseket kínál olvasóinknak a Fibonacci-polinomok-hez.

Az (1. számú) Fibonacci-polinomok definíciója (amely a kiszámítási módjukat is megadja) a következő:

(C és n természetes számok, lásd https://oeis.org/A011973 ):

.

Ha (n) értéke 1-től 13-ig változik, az alábbi táblázatot kapjuk:

(n=1)

(n=2)

(n=3)

(n=4)

(n=5)

(n=6)

(n=7)

(n=8)

(n=9)

(n=10)

(n=11)

(n=12)

(n=13)

Az (1. számú) Fibonacci-polinomok (páratlan n-ek esetében)

megkaphatók a következő formulával is:

Az alábbi függvény (a Binet-formula általánosítása) is azonos eredményre vezet

(ez a Fibonacci-polinomok kiszámításának legbonyolultabb módja):

A (2. számú) Fibonacci-polinomok

A Fibonacci-polinomoknak létezik egy másik "családja" is.

Ez abban különbözik, hogy a műveletek során nem az utolsó,

hanem az utolsó előtti polinomot kell szorozni a "D" konstanssal.

(n=1)

(n=2)

(n=3)

(n=4)

(n=5)

(n=6)

(n=7)

(n=8)

(n=9)

(n=10)

(n=11)

(n=12)

(n=13)

Zárt formula:

Általános alak:

(Megjegyzés)

Legfőbb különbség a két polinom-család között az, hogy az 1. Fibonacci-polinomok "hiányosak"

(vagy csupa páros, vagy csupa páratlan kitevőjű hatványt tartalmaznak).

(Megjegyzés Nr 2.)

Mindkét polinom-családban közös, hogy ha az együtthatókat összeadjuk,

akkor Fibonacci-számokat kapunk, például:

ha (n=11)

vagy (n=13)

(Megjegyzés Nr 3.)

A rekurzió miatt, ha (n) értéke osztható (d)-vel, akkor osztható -vel, illetve

osztható -vel (akár konkrét számokról, akár polinomokról van szó).

(Megjegyzés Nr 4.)

Mindkét esetben, ha (n) értéke prímszám, akkor a hozzá tartozó polinom irreducibilis (a természetes

számok teste felett), ha (n) értéke összetett szám, akkor a hozzá tartozó polinom reducibilis.

(Megjegyzés Nr 5.)

Az (1. számú) Fibonacci-polinomok általános alakjában szereplő kifejezés

megkapható, mint az (másodfokú) egyenlet nagyobbik (pozitív) gyöke is,

továbbá ez a gyök egy állandó számokból álló ("homogén") lánctört határértéke is egyben:

.

ARANY, EZÜST ÉS FÉM-SZÁMOKAT ELŐÁLLÍTÓ POLINOMOK

A fent ismertetett két módszert kombinálni is lehet,

(amikor a C-vel és a D-vel való szorzást egy ütemben hajtjuk végre):

Polinomjaink (ha (n) értéke 1-től 13-ig változik) a következők:

(n=1)

(n=2)

(n=3)

(n=4)  

(n=5)

(n=6)

(n=7)

(n=8)

(n=9)

(n=10)

(n=11)

(n=12)

(n=13)

Vegyük az alábbi (másodfokú) egyenlet két gyökét

(ahol (C) természetes szám, (D) egész-szám):

Ezzel a két gyökkel (a Fibonacci-számokat generáló függvény mintájára)

megkonstruálhatunk egy (három-változós) függvényt:

azaz


Ez a függvény (a hozzá tartozó polinomokkal együtt) "univerzális", mert

(I.) és esetén a "Fibonacci-számokat" állítja elő,

(II.) és esetén a "METAL-számokat" (ezüst, bronz, vörösréz) állítja elő,

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/FiboGene.htm

(III.)

és esetében azokat a számokat, melyeknek a "négyzete háromszögszám", az

  (Diofantoszi) egyenlet egész (M) megoldásait:

(M = 1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, 235416, 1372105, 7997214, 46611179, 271669860,

1583407981, 9228778026, 53789260175, 313506783024, 1827251437969, 10650001844790,

62072759630771, 361786555939836, 2108646576008245, 12290092900109634, 71631910824649559 ...).

(IV.)

és esetében a formulát kapjuk, ami esetében

a Fermat-féle prímszámokat állítja elő ,

(V.)

és esetében pedig Mersenne-számokat kapunk, képletük:

Bármilyen meglepő, ebből az következik, hogy a "Mersenne-számok" is rekurzívak: