Erlang-eloszlás

Az Erlang-eloszlás folytonos valószínűség-eloszlás. Az eloszlást Agner Krarup Erlang(wd) (1878–1929) dán matematikus fejlesztette ki, amikor azonos időben keletkező telefonhívásokat vizsgált a koppenhágai telefonközpontban. Ez a munka később kiterjedt a várakozási idők vizsgálatára, és ezzel elindult a sorbanállási elmélet kialakulása. Ezt az eloszlást sztochasztikus folyamatok, és biomatematikai problémák elemzésére is használják.

Az eloszlás folytonos, értéke pozitív minden nullánál nagyobb valós számra. Két paraméterrel szokták jellemezni: az alakparaméterrel (${\displaystyle k}$), mely pozitív egész, és a gyakorisággal (${\displaystyle \lambda }$), mely szintén pozitív valós szám. Az eloszlást néha az inverz gyakoriság paraméterrel is jellemzik (${\displaystyle \mu }$). Az eloszlás ${\displaystyle k}$ független exponenciális változó összege ${\displaystyle \mu }$ középértékkel. Ha az alakparaméter ${\displaystyle k}$ =1, akkor az eloszlás exponenciális eloszlásra egyszerűsödik. Az Erlang-eloszlás a gamma-eloszlás olyan speciális esete, amelynél a ${\displaystyle k}$ egész szám. A gamma-eloszlásnál ez a paraméter nem csak egész lehet.

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{ahol }}x,\lambda \geq 0}$

${\displaystyle k}$, az alakparaméter, ${\displaystyle \lambda }$, a gyakoriság paraméter. Egy alternatív, de ekvivalens parametrizálás (gamma-eloszlás) a ${\displaystyle \mu }$ skálaparamétert használja, mely a gyakoriság paraméter reciproka (${\displaystyle \mu =1/\lambda }$):

${\displaystyle f(x;k,\mu )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\mu }}}}{\mu ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{ahol}}x,\mu \geq 0}$

Amikor ${\displaystyle \mu }$=2, akkor az eloszlás khi-négyzet eloszlássá egyszerűsödik 2k szabadságfokkal. Páros számú szabadságfok esetén ez az általános khi-négyzet eloszlás. A nevező faktoriális függvénye miatt az Erlang-eloszlás csak k, pozitív egész értékeire értelmezhető. A gamma-eloszlás kiterjeszti az Erlang-eloszlást k bármely valós értékére, a gamma-függvényt használva a faktoriális helyett.

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-{\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}}$

ahol ${\displaystyle \gamma ()}$ az alsó inkomplett gamma-függvény. A kumulatív eloszlásfüggvény másik kifejezése:

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}}$

Átlagos gyakorisággal, függetlenül bekövetkező események a Poisson-folyamattal modellezhetők. k előfordulási gyakoriságú események közötti várakozási idők Erlang-eloszlásúak (egy adott időben előforduló események számát a Poisson-eloszlás írja le). Az Erlang-eloszlás, mely a bejövő hívások közötti időt méri, felhasználható a bejövő hívások várható időtartamának jellemzésére, így információt kapunk a forgalmi terhelésről erlangban(wd) mérve. Ez felhasználható a csomagveszteség és késleltetések valószínűségének meghatározására is (Erlang B-képlet(wd), Erlang C-képlet(wd)). Az Erlang B,- és Erlang C-képlet ma is használatos call centerek forgalmi modellezésénél. Az Erlang B-eloszlás felhasználható call centereknél a trönkök számának tervezésekor. Az Erlang C-eloszlás segítségével kiszámolható, hogy a hívásoknak mennyit kell várni a kezelőre.

• Sundarapandian, V: Queueing Theory. Probability, Statistics and Queueing Theory. (hely nélkül): . PHI Learning. 2009. ISBN 8120338448  

• Egy PDF-fájl adatokkal

• M/D/1-típusú sorbanállás
• Pollaczek–Khinchine-formula
• M/G/1-típusú sorbanállás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika