Eisenstein-egész

Az Eisenstein-egészek (Euler-egészek) az ${\displaystyle a+b\omega }$ alakú komplex számok, ahol a, b egész számok és

${\displaystyle \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}$

az „első” harmadik egységgyök.

Könnyen látható, hogy az összeadás és a kivonás nem vezet ki az Eisenstein-egészek köréből. A szorzás sem, mivel ${\displaystyle \omega ^{2}=-\omega -1}$. Az Eisenstein-egészek így ${\displaystyle {\mathbf {Z} }}$-val jelölt gyűrűt alkotnak.

Az Eisenstein-egészek algebrai egész számok, ezek a ${\displaystyle {\mathbf {Q} }({\sqrt {-3}})=\{a+b\omega :a,b\in {\mathbf {Q} }\}}$ számtestbe eső algebrai egészek.

Az ${\displaystyle a+b\omega }$ Eisenstein-egészhez hozzárendeljük az

${\displaystyle N(a+b\omega )=(a+b\omega )(a+b\omega ^{2})=a^{2}-ab+b^{2}}$

normát. Ez mindig nemnegatív egész szám és csak ${\displaystyle a=b=0}$ esetén 0. Továbbá multiplikatív, azaz ${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$ mindig teljesül.

Hat Eisenstein-egész normája egy: ${\displaystyle 1,-1,\omega ,-\omega ,\omega ^{2},-\omega ^{2}}$. Ezek az egységek, tehát azok az Eisenstein-egészek, amelyek minden Eisenstein-egész osztói. Ha két Eisenstein-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. ${\displaystyle 1-\omega }$ Eisenstein-prím és ${\displaystyle 3=-\omega ^{2}(1-\omega )^{2}}$. Ha p közönséges prím és ${\displaystyle p\equiv 2{\pmod {3}}}$ akkor Eisenstein-prím is. Ha p közönséges prím és ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {3}}}$ akkor ${\displaystyle p=\pi {\overline {\pi }}}$ egy alkalmas ${\displaystyle \pi }$ Eisenstein-prímre. Így például, ${\displaystyle 7=(3+\omega )(2-\omega )}$.

Az Eisenstein-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így ${\displaystyle {\mathbf {Z} }}$ euklideszi gyűrű: ha ${\displaystyle a,b\in {\mathbf {Z} }}$, ${\displaystyle b\neq 0}$ akkor létezik ${\displaystyle q}$ és ${\displaystyle r}$, hogy ${\displaystyle a=bq+r}$ és ${\displaystyle N(r)<N(b)}$. Innen adódik, hogy ${\displaystyle {\mathbf {Z} }}$-ban igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon ${\displaystyle \pi }$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy ${\displaystyle \pi =xy}$ esetén x vagy y asszociáltja ${\displaystyle \pi }$-nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Eisenstein-prímekkel (azon ${\displaystyle \pi }$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy ${\displaystyle \pi \mid xy}$ esetén ${\displaystyle \pi \mid x}$ vagy ${\displaystyle \pi \mid y}$ teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható ${\displaystyle x=\pi _{1}\cdots \pi _{r}}$ alakban, ahol ${\displaystyle \pi _{1},\dots ,\pi _{r}}$ prímelemek, továbbá, ha ${\displaystyle x=\rho _{1}\cdots \rho _{s}}$ egy másik felírás, akkor ${\displaystyle s=r}$ és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re ${\displaystyle \rho _{j}}$ asszociáltja ${\displaystyle \pi _{j}}$-nek.

• algebrai számelmélet
• Gauss-egész

Freud-Gyarmati: Számelmélet