Csebisev-csomópontok

A numerikus analízisben a Csebisev-csomópontok speciális valós algebrai számok, nevezetesen az elsőfajú Csebisev-polinomok gyökei. Ezeket gyakran használják csomópontként polinomiális interpolációban, mert a kapott interpolációs polinom minimalizálja a Runge-hatás mértékét.^[2]

Egy adott n pozitív egész számra a ( − 1, 1) intervallumon lévő Csebisev-csomópontok a következők:

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}$

Ezek az elsőfajú Csebisev-polinom n-ed fokú gyökei. Egy tetszőleges intervallumon lévő csomópontoknál affin transzformáció használható:

${\displaystyle }$${\displaystyle x_{k}={\frac {1}{2}}(a+b)+{\frac {1}{2}}(b-a)cos{\biggl (}{\frac {2k-1}{2n}}\pi {\biggr )},\qquad k=1,...,n.}$

A Csebisev-csomópontok fontosak a közelítéselméletben, mert különösen jó csomópontokat alkotnak a polinomiális interpolációhoz. Adott ƒ függvény ${\displaystyle }$intervallumon és n darab ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$pont. Ezen az intervallumon, az interpolációs polinom az az egyedülálló legfeljebb ${\displaystyle n-1}$-ed fokú ${\displaystyle P_{n-1}}$ polinom melynek minden ${\displaystyle x_{i}}$ponton ${\displaystyle f(x_{i})}$értéke van. Az interpolációs hiba a ${\displaystyle x}$-re:

${\displaystyle f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}$

néhány (x-től függő) ${\displaystyle \xi }$-ra a intervallumon.^[3] Ezt minimalizáljuk

${\displaystyle }$${\displaystyle \max _{x\in }\left|\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\right|.}$

Ezen produs egy n fokú monic polinom. Kimutatható, hogy az ilyen polinomok maximális abszolút értéke alulról 2¹⁻ⁿ -től kötött. Ezt a kötést a 2¹⁻ⁿT_n skálázott Csebisev-polinomok érik el, amelyek szintén monikusak. (Emlékezzünk arra, hogy |T_n(x)|≤1 x ∈ esetén. ^[4] Ezért, ha az x_i interpolációs csomópontok a T_n gyökei, a hiba:

${\displaystyle }$${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in }\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$

Egy tetszőleges intervallum esetén a változó változása azt mutatja

${\displaystyle }$${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{n}\max _{\xi \in }\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$

• Stewart, Gilbert W. (1996), Afternotes on Numerical Analysis, SIAM, ISBN 978-0-89871-362-6.

• Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8. kiadás, 503–512. ISBN 0-534-39200-8 .