Bernoulli-számok

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A Bernoulli-számok a számelméletben előforduló sajátos értékek. A racionális számokból álló Bernoulli-számsorozatot ${\displaystyle {\bigl (}(B_{n})_{n\geq 0}{\bigr )}}$ a következő rekurzió határozza meg:

${\displaystyle B_{0}=1,}$ továbbá

${\displaystyle B_{0}+2B_{1}=0,}$

${\displaystyle B_{0}+3B_{1}+3B_{2}=0,}$

${\displaystyle B_{0}+4B_{1}+6B_{2}+4B_{3}=0,}$

${\displaystyle B_{0}+5B_{1}+10B_{2}+10B_{3}+5B_{4}=0,}$ és így tovább.

Általánosan a következő rekurzív képlettel értelmezzük a sorozatot: ${\displaystyle B_{n}=-{\frac {1}{n+1}}\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{{\Biggl (}{\binom {n+1}{k}}\cdot B_{k}{\Biggr )}}}$.

Így adódik a ${\displaystyle B_{0}=1,B_{1}=-{\frac {1}{2}},B_{2}={\frac {1}{6}},B_{3}=0,B_{4}=-{\frac {1}{30}},B_{5}=0,B_{6}={\frac {1}{42}},\dots }$ sorozat.

A definíció alapján kaphatjuk, hogy teljesül a

${\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}t^{n}}$

sorfejtés. Ebből igazolható, hogy ${\displaystyle B_{3}=B_{5}=B_{7}=\cdots =B_{2k+1}=\cdots =0}$.

A páros indexű Bernoulli-számok a Riemann-féle zéta-függvény segítségével is definiálhatóak a következőképpen:

${\displaystyle B_{2n}=2(-1)^{n+1}{\frac {\zeta (2n)\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}.}$

Különféle sorfejtésekben is előfordulnak, például:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}k^{n}={1 \over {n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose {k}}B_{k}m^{n+1-k};}$

${\displaystyle {\rm {tg}}\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}};}$

${\displaystyle {\rm {ctg}}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}.}$

T. Claussen és C. von Staudt egymástól függetlenül a következő tételt fedezte fel:

Ha ${\displaystyle m\geq 1}$, akkor ${\displaystyle {\biggl (}B_{2m}+\sum {\frac {1}{p}}{\biggr )}\in \mathbb {Z} }$, ahol azon p prímszámokat összegezzük, amelyekre ${\displaystyle (p-1)\mid 2m}$.

Mivel 2-1=1 és 3-1=2 osztója 2-nek, innen azonnal adódik Rámánudzsan észrevétele, hogy ekkor ${\displaystyle B_{2m}}$ nevezője osztható 6-tal.

n nagy értékeire érvényes a következő aszimptotikus formula: ${\displaystyle \left|{B_{2n}}\right|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}}$.