Affin transzformáció

Megjelenés áthelyezés az oldalsávba elrejtés Franciaország körvonalaFranciaország körvonala Franciaország körvonala affin transzformáció (nyírás) után. Látható, hogy a négyzetekből paralelogrammák lettekFranciaország körvonala affin transzformáció (nyírás) után. Látható, hogy a négyzetekből paralelogrammák lettek


Az affin transzformáció az affin geometriában használt, illetve a lineáris algebra részeként is tárgyalható fogalom. Egy affin transzformáció során a transzformált koordináták az eredeti koordináták lineáris függvényeként állnak elő. Ide tartoznak a lineáris transzformációk.

Lényege, hogy egy affin terek közötti transzformáció affin, ha megőrzi a kollinearitást, a párhuzamosságot és az osztóviszonyt. Pontosabban:

Speciális affin transzformációk:

Definíció

Ha ( A , V A ) {\displaystyle (A,V_{A})} és ( B , V B ) {\displaystyle (B,V_{B})} affin terek, akkor egy f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} leképezés affin, ha van egy φ : V A → V B {\displaystyle \varphi \colon V_{A}\to V_{B}} lineáris leképezés a hozzájuk tartozó vektorterek között úgy, hogy

f ( P ) f ( Q ) → = φ ( P Q → ) {\displaystyle {\overrightarrow {f(P)f(Q)}}=\varphi \left({\overrightarrow {PQ}}\right)}

minden P , Q ∈ A {\displaystyle P,Q\in A} pontra. Itt az P Q → ∈ V A {\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}\in V_{A}} és f ( P ) f ( Q ) → ∈ V B {\displaystyle {\overrightarrow {f(P)f(Q)}}\in V_{B}} vektorok az eredeti pontok és a képpontok összekötő vektorai.

Hogyha A = V A {\displaystyle A=V_{A}} és B = V B {\displaystyle B=V_{B}} , akkor az f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} leképezés affin, ha van egy φ : V A → V B {\displaystyle \varphi \colon V_{A}\to V_{B}} lineáris leképezés úgy, hogy

f ( P ) = f ( 0 ) + φ ( P ) {\displaystyle f(P)=f(0)+\varphi (P)}

minden P ∈ A {\displaystyle P\in A} . Ekkor az affin leképezés megkapható egy lineáris leképezésből az f ( 0 ) {\displaystyle f(0)} vektorral való eltolással.

Tulajdonságok

φ f : V A → V B , P 0 Q → ↦ f ( P 0 ) f ( Q ) → {\displaystyle \varphi _{f}\colon V_{A}\to V_{B},\quad {\overrightarrow {P_{0}Q}}\mapsto {\overrightarrow {f(P_{0})f(Q)}}}

lineáris.

Ábrázolások koordinátákkal

Affin koordináta-rendszerben

Descartes-koordináta-rendszert vagy általánosabban, affin koordináta-rendszert feltételező esetben az affin transzformációk előállnak egy lineáris transzformáció és egy eltolás szorzataként. Egy lineáris transzformáció ábrázolható mátrixszal, és egy eltolás vektorral, azért az affin transzformáció általános alakját a következőképpen írhatjuk fel:

Transzformált koordináták =  Eredeti koordináták ⋅ 3 × 3  mátrix + P  Vektor {\displaystyle {\overset {\text{Transzformált koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Blue}X^{'},&\color {Blue}Y^{'},&\color {Blue}Z^{'}\\\end{bmatrix}}}={\overset {\text{ Eredeti koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Red}X,&\color {Red}Y,&\color {Red}Z\\\end{bmatrix}}}\cdot {\overset {3\times 3{\text{ mátrix}}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\\\end{bmatrix}}}+{\overset {P{\text{ Vektor}}}{\begin{bmatrix}P_{x},&P_{y},&P_{z}\\\end{bmatrix}}}}

Ahol a 3x3 -as A mátrix valamilyen lineáris transzformáció mátrixa ami lehet skálázás, forgatás, tükrözés, vetítés, nyírás vagy ezek tetszőleges konkatenáltja. A P vektor pedig valamilyen eltolás vektoraként értelmezhető.

Röviden:

f ( x → ) = A ⋅ x → + p → {\displaystyle f({\vec {x}})=A\cdot {\vec {x}}+{\vec {p}}}

Ezzel az írásmóddal x → {\displaystyle {\vec {x}}} és f ( x → ) {\displaystyle f({\vec {x}})} oszlopvektorok, és egy pont ősképét, illetve képét ábrázolják. Az A {\displaystyle A} mátrix sorainak száma megegyezik annak a térnek a dimenziójával, amibe a transzformáció képez( A 2 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}} ); az oszlopok száma egyenlő annak a térnek a dimenziójával, amiből a transzformáció képez ( A 1 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}} ).

Az affin leképezés f ( A 1 ) {\displaystyle f({\mathcal {A}}_{1})} képterének dimenziója megegyezik a mátrix rangjával.

Ha egy affin teret önmagára képezünk, akkor csak egy koordináta-rendszert kell választani; mind x → {\displaystyle {\vec {x}}} , mind f ( x → ) {\displaystyle f({\vec {x}})} koordinátáit ebben a rendszerben írjuk fel. Mivel az ős- és a képtér megegyezik, dimenziójuk ugyanakkora, így az A {\displaystyle A} mátrix oszlopainak és sorainak száma megegyezik, tehát az A {\displaystyle A} mátrix négyzetes. Ebben az összefüggésben azonosítják az eltolások terét is az affin térrel. Így az affin önleképezések azonosíthatók a lineáris leképezések és az eltolások kombinációjával.

Egy affin önleképezés pontosan akkor affinitás, ha a leképezésmátrix determinánsa nem nulla.

Homogén koordinátákkal

Homogén koordináták használata esetén egyetlen mátrixszorzással felírható:

Transzformált koordináták = Eredeti koordináták ⋅ 4 × 4  mátrix {\displaystyle {\overset {\text{Transzformált koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Blue}X^{'},&\color {Blue}Y^{'},&\color {Blue}Z^{'},&\color {Blue}1\\\end{bmatrix}}}={\overset {\text{Eredeti koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Red}X,&\color {Red}Y,&\color {Red}Z,&\color {Red}1\\\end{bmatrix}}}\cdot {\overset {4\times 4{\text{ mátrix}}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&0\\A_{21}&A_{22}&A_{23}&0\\A_{31}&A_{32}&A_{33}&0\\P_{x},&P_{y},&P_{z}&1\\\end{bmatrix}}}}

A leképezés egyenlete homogén koordinátavektorokkal:

f h ( x h → ) = A e r w ( A , p → ) ⋅ x h → {\displaystyle f_{h}({\vec {x_{h}}})=A_{\mathrm {erw} }(A,{\vec {p}})\cdot {\vec {x_{h}}}} .

Ez az ábrázolás értelmezhető az affin tér megfelelő dimenziójú projektív térbe ágyazásaként. Ekkor a homogén koordináták értelmezhetők projektív koordinátákként.

Osztályozás

Az affinitásokat fixpontjaik szerint osztályozzák. Egy pont fixpont, ha a transzformáció önmagára képezi le. Ha x → p {\displaystyle {\vec {x}}_{p}} fixpont, akkor koordinátái meghatározhatók az x → p − A ⋅ x → p = t → {\displaystyle {\vec {x}}_{p}-A\cdot {\vec {x}}_{p}={\vec {t}}} egyenlet alapján. Figyelembe kell venni, hogy t → ≠ 0 {\displaystyle {\vec {t}}\neq 0} fixpont is létezhet, lásd például a síkban a tengelyes tükrözést.

Az osztályozás a síkbeli (kétdimenziós) affin térben:

  1. Identitás, minden pont fix
  2. Tengelyes affinitás: egy affinitás, melynek fixpontjai egyenest alkotnak, ez az affinitás tengelye. Ide tartoznak a ferdén tükrözések, a nyírások és a párhuzamos nyújtások.
  3. Középpontos affinitás: egyetlen fixpont van, az affinitás középpontja. Ide tartoznak a forgatva nyújtás, köztük a középpontos tükrözések, forgatások és középpontos hasonlóságok; a nyírva nyújtás és az Euler-affinitás.
  4. Fixpont nélküli affinitások: ide tartoznak a valódi eltolások, vagy pedig egy tengelyes vagy középpontos affinitás kombinációja valódi eltolással.

A síkbeli affinitások normálformája

Alkalmas affin pontbázisválasztással minden síkaffinitás normálformára hozható. Ehhez az origót egy fixpontban jelölik ki. Amennyiben vannak fixegyenesek, úgy a koordinátatengelyeket ezek irányában jelölik ki. Persze ezek a módszerek az identitás esetén nem működnek, de ahhoz önkényesen választunk origót és tengelyeket, és amúgy is az identitásmátrixot kapjuk. Az alábbi normálformák a valós affin sík normálformáit tartalmazzák. Amennyiben nincs fixpont, úgy a leíráshoz egy t → ≠ 0 {\displaystyle {\vec {t}}\neq 0} vektorra is szükség van.

A = ( 1 1 0 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}

A = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}

A = ( 1 0 0 a ) ; a > 0 {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&a\end{pmatrix}};\quad a>0}

A = r ⋅ ( cos ⁡ ( φ ) − sin ⁡ ( φ ) sin ⁡ ( φ ) cos ⁡ ( φ ) ) , {\displaystyle A=r\cdot {\begin{pmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )\end{pmatrix}},\quad } , ahol | r | {\displaystyle |r|} a nyújtás tényezője, és φ {\displaystyle \varphi } a forgatás szöge

A = ( a 1 0 a ) ; a ∈ R ∖ { 0 ; 1 } {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&1\\0&a\end{pmatrix}};\quad a\in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0;1\rbrace }

A = ( a 0 0 b ) ; a ≠ b ; a , b ∈ R ∖ { 0 ; 1 } . {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}};\quad a\neq b;\quad a,b\in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0;1\rbrace .}

Ha K {\displaystyle K} a valós számok euklideszi részteste, akkor a K 2 {\displaystyle K^{2}} affin sík affin transzformációi is ugyanígy csoportosíthatók; ekkor azonban a mátrixkoordinátáknak is ebből a testből kell kikerülniük, azaz a , b , r , cos ⁡ ( φ ) , sin ⁡ ( φ ) ∈ K {\displaystyle a,b,r,\cos(\varphi ),\sin(\varphi )\in K} . Forgatva nyújtások esetén azonban a φ ∈ R {\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} } szögmértéknek nem kell testelemnek lennie.

Speciális affin transzformációk

Alkalmazások

Egy önaffin fraktálszerű alakzat a Barnsley-páfrány. A teljes levél affin transzformációval átvihető kisebb levélkéibe tükrözéssel, forgatással, skálázással és eltolással

Grafikus alkalmazások

Affin leképezéseket alkalmaznak a térképészetben és a képfeldolgozásban.

Statisztikai alkalmazások

A statisztikában lineáris transzformációkkal lehet a legtöbbször találkozni.

Eloszlások jellemzése

Legyen X {\displaystyle X} véletlen valószínűségi változó, az E ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)} várható értékkel és Var ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X)} szórásnégyzettel! Képezzük az Y {\displaystyle Y} véletlen valószínűségi változót úgy, hogy az X {\displaystyle X} véletlen valószínűségi változó lineáris transzformáltja legyen, azaz

Y = a + b X , {\displaystyle Y=a+bX,}

ahol a {\displaystyle a} és b {\displaystyle b} valós számok.

Ekkor az Y {\displaystyle Y} véletlen valószínűségi változó várható értéke

E ⁡ ( Y ) = a + b E ⁡ ( X ) , {\displaystyle \operatorname {E} (Y)=a+b\operatorname {E} (X),}

szórásnégyzete

Var ⁡ ( Y ) = b 2 Var ⁡ ( X ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=b^{2}\operatorname {Var} (X).}

Speciálisan, ha X {\displaystyle X} normális eloszlású, akkor Y {\displaystyle Y} is normális eloszlású, a fenti paraméterekkel.

Például: Legyen X {\displaystyle X} pozitív szórásnégyzetű véletlen valószínűségi változó! Ekkor hasznos az

Y = X − E ⁡ ( X ) Var ⁡ ( X ) , {\displaystyle Y={\frac {X-\operatorname {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}},}

lineáris transzformáció, mivel ekkor Y {\displaystyle Y} az E ⁡ ( Y ) = 0 {\displaystyle \operatorname {E} (Y)=0} és Var ⁡ ( Y ) = 1 {\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=1} értékekkel standardizált véletlen valószínűségi változó.

Legyen X _ = ( X 1 , … , X p ) T {\displaystyle {\underline {X}}=(X_{1},\dots ,X_{p})^{T}} valószínűségi vektorváltozó, legyen μ _ X {\displaystyle {\underline {\mu }}_{X}} a várható értékek vektora, és Σ _ X {\displaystyle {\underline {\Sigma }}_{X}} az X _ {\displaystyle {\underline {X}}} valószínűségi vektorváltozó kovarianciamátrixa! Ekkor, ha az Y _ {\displaystyle {\underline {Y}}} valószínűségi vektorváltozó az X _ {\displaystyle {\underline {X}}} valószínűségi vektorváltozó lineáris transzformáltja, azaz

Y _ = a _ + B _ X _ , {\displaystyle {\underline {Y}}={\underline {a}}+{\underline {B}}\,{\underline {X}},}

ahol a _ {\displaystyle {\underline {a}}} egy q {\displaystyle q} dimenziós oszlopvektor és B _ {\displaystyle {\underline {B}}} egy q × p {\displaystyle q\times p} méretű mátrix; ekkor Y _ {\displaystyle {\underline {Y}}} várható értéke

μ _ Y = a _ + B _ μ _ X {\displaystyle {\underline {\mu }}_{Y}={\underline {a}}+{\underline {B}}\,{\underline {\mu }}_{X}}

és kovarianciamátrixa

Σ _ Y = B _ Σ _ X B _ T {\displaystyle {\underline {\Sigma }}_{Y}={\underline {B}}\,{\underline {\Sigma }}_{X}\,{\underline {B}}^{T}} .

Speciálisan, ha X _ {\displaystyle {\underline {X}}} p {\displaystyle p} -dimenziós normális eloszlású, akkor Y _ {\displaystyle {\underline {Y}}} q {\displaystyle q} dimenziós normális eloszlású, a fent kiszámított paraméterekkel.

Példák

Az affin transzformációk pontot pontba, egyenest egyenesbe, párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe, síkokat síkokba visznek.

A képfeldolgozási alkalmazásokban affin transzformációkat használnak arra, hogy a kamerapozícióból adódó torzításokat kiküszöböljék. Például a műholdak által alkotott képek nagylátószögű objektívekkel készítik, és panorámaképeket alkotnak, képkombinációkat készítenek. A képek transzformációja és egyesítése érdekében kívánatos egy nagy, lapos koordináta-rendszer, a torzítások elkerülése érdekében. Így egyszerűsíthetők a számítások és az interakciók, melyeknek nem kell figyelembe venniük a különböző torzításokat.

Az alábbi táblázat egy sakktáblamintával mutat be különböző affin transzformációkat: identitást, eltolást, tükrözést, skálázást, forgatást és nyírást. A sakktábla bal oldala sötétebb, a tükrözés szemléltetésére:

Affin transzformáció Mátrix Példa
Identitás {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
Eltolás {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&v_{x}>0\\0&1&v_{y}=0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
Tükrözés {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
Skálázás {\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{x}=2&0&0\\0&c_{y}=1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
Forgatás {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
Nyírás {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&c_{x}=0.5&0\\c_{y}=0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}

Kapcsolódó szócikkek

Commons:Category:Affine transformation A Wikimédia Commons tartalmaz Affin transzformáció témájú médiaállományokat.

Jegyzetek

  1. The MathWorks, Inc.: Linear mapping method using affine transformation

Források

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Affine Abbildung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.